The article in propose a new geometry method for definite maximum bend plate in form different and complicated limit condition with equality distribution load.
В статье на нескольких примерах показано, что с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы можно достаточно просто определять величину максимального прогиба параллелограммных и трапециевидных пластинок со сложными грангичными условиями, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой.
В основе МИКФ лежит изопериметрический метод, основоположниками которого являются Д. Пойа и и Г. Сеге [1], так как основным аргументом в получаемых аналитических зависимостях является отношение коэффициента формы [2;3] к площади области (Кf/А), и все решения для определенного ограниченного подмножества областей имеют граничные (опорные) решения. Отличие его заключается в том, что, если при использовании изопериметрического метода поведение интегральных параметров внутри множества решений между опорными не известно, то при использовании МИКФ получается аналитическая зависимость, позволяющая найти решение для любой фигуры из рассматриваемого множества.
Сущность метода интерполяции по коэффициенту формы заключается в следующем. Пусть необходимо записать решение для некоторого множества фигур, полученных путем какого-либо непрерывного (или дискретного) геометрического преобразования. При анализе фигур (форм пластинок) этого множества следует выделить среди них хотя бы две пластинки, решения для которых известны («опорные» решения). Желательно чтобы эти две пластинки при выбранном геометрическом преобразовании отстояли друг от друга на «небольшом расстоянии».
Известные решения (wo)1 и (wo)2 для этих пластинок могут быть представлены в виде зависимостей:
; 
. (1)
Предположим, что при выбранном преобразовании А1 = А2 (с изменением фигуры меняется и ее масштаб). Разделив второе выражение на первое, найдем значение параметра n для заданного геометрического преобразования.
. (2)
Структура этих формул соответствует зависимости (1).
К такому виду можно привести все получаемые решения при любом геометрическом преобразовании, предварительно представив в безразмерном виде (приведя к единичной площади).
Если вместо (wo)2 подставить значение wo для любой пластинки, относящейся к выбранному геометрическому преобразованию, то получим:
. (3)
Легко заметить, что опорные решения в (3) удовлетворяются автоматически.
Графически рассмотренная аппроксимация изображена на рисунке 1, где кривая I соответствует действительным значениям wo, а кривая II - приближенным решениям, полученным по формуле (3).
Приведенные выше рассуждения основывались на непрерывных геометрических преобразованиях, когда изменение формы фигур рассматриваемого множества происходит непрерывно и монотонно, а также можно вполне успешно применять дискретные геометрические преобразования, когда переход от одной фигуры к другой осуществляется скачкообразно.
|
|
|
Рисунок 1 |
Пример 1. Определим прогиб для пластинки в виде параллелограмма, применив преобразование аффинного растяжения (или сжатия) со сдвигом (рис.3). При этом вершины параллелограмма как бы параллельно скользят по направляющим, которые могут быть кривыми или прямыми. Параметры пластинки: h = 1,314м; а = 2м; h/a = 0,657; α = 60˚; A = 0,657а2; Кf = 9,592. Для этой пластинки найдено значение прогиба с помощью МКЭ: w0=0,5904мм. Заданный параллелограмм может быть получен из прямоугольника у которого: с = 1м; а = 2м; c/a =0,5; А1=0,5a2; Кf1=9. При аффинном растяжении со сдвигом этого прямоугольника при угле наклона направляющей γ = 22˚ получается ромб с углом при основании а = 2м; h =1,538м; β = 50˚; А2=0,76925a2; Кf2=10,444.
|
|
|
Рисунок 2. Условия операния пластинки. |
Значения прогиба для опорных пластинок находятся с помощью метода конечных элементов: w01=0,256мм; w02=0,7849мм.
По этим опорным решениям, применив методику МИКФ, найдем изгиб для заданной пластинки в виде параллелограмма:
;
,
,
что отличается от решения полученного МКЭ w0=0,5904мм на 0,3 %.
|
|
|
Рисунок 3. Аффинное растяжение (или сжатие) со сдвигом параллелограмма |
Пример 2. Определим максимальный прогиб от действия равномерно распределенной нагрузки q = 0,001 Н/мм2 для пластинки в виде прямоугольной трапеции с α = 65º, полученной из прямоугольной трапеции (α = 50º), с жестко защемленными основаниями и шарнирно опертыми боковыми гранями путем перемещения ее боковой грани (рисунок 4). Параметры пластинки: a = 2,21 м; b = 1,973 м; h = 0,5 м; A = 1 м2; Кf = 17,7927; D = 19,2 МПа·м, а также найдено значение прогиба с помощью МКЭ w0 = 0,0086 мм и 1000w0 = 0,16512 мм.
Первое опорное решение – прямоугольная трапеция имеет следующие параметры: a = 2,21 м; b = 1,79 м; h = 0,5 м; A = 1 м2; D = 19,2 МПа·м; Кf = 17,2933; w0 = 0,0088 мм и 1000w0 = 0,16896 мм.
Второй опорной фигурой в этом случае будет прямоугольник с параметрами: a = 2 м; b = 0,5 м; A = 1 м2; D = 19,2 МПа·м; Кf = 112,5; w0 = 0,0079 мм и 1000 w0 = 0,15168 мм.
|
а) |
б) |
в) |
|
|
|
|
|
Рисунок 4. Аффинное преобразование прямоугольной трапеции поворотом ее боковой грани |
||
По опорным решениям, применив методику МИКФ, получим:
;
,
,
что отличается от решения полученного МКЭ 1000w0 = 0,16512 мм на 3,3%.
Таким образом, применение МИКФ позволяет получать простые аналитические зависимости для определения максимального прогиба в задачах поперечного изгиба пластинок. Этот метод позволяет также производить контрольные проверки решений для конкретных видов пластинок, полученных другими приближенными способами, путем построения этих фигур с помощью различных геометрических преобразований.
Если для рассматриваемого множества фигур, соответствующих какому–либо геометрическому преобразованию, имеется более двух известных решений, то выражение для определения параметра n может быть представлено в виде некоторой функции. При этом точность апроксимации решений существенно возрастает.
Литература.
- Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. - [Текст] / Полиа Г., Сеге Г - М.: Госматиздат, 1962. – 336с.
- Коробко А.В. Геометрическое моделирование формы области в двумерных задачах теории упругости. – [Текст] / В.И. Коробко – М.: Изд-во АВС, 1999. – 320с.
- Коробко В.И Изопереметрический метод в строительной механике.– Т. 1. [Текст] / В.И. Коробко – М.: Изд-во АСВ, 1997. – 396с.
