В большинстве случаев при организации контурного управления манипуляционным роботом желаемая траектория движения задается в координатной системе задания путем указания требуемых положений рабочего органа и его ориентаций. При управлении неизбыточными роботами такая траектория обычно преобразуется в пространство обобщенных координат и полученные желаемые траектории движения в степенях подвижности робота отрабатываются независимыми следящими системами.
Во многих практических ситуациях, связанных с работой в сложных загроможденных средах, находят применение манипуляторы с кинематической избыточностью. В этом случае не существует однозначного преобразования из пространства задания в пространство обобщенных координат. Существующие подходы к формированию траекторий избыточных манипуляторов достаточно сложны и, как правило, не учитывают реальных динамических характеристик манипуляторов. Ниже рассматривается задача управления движением одного класса избыточных манипуляционных систем, представляющих собой быстрый малый неизбыточный манипулятор, установленный на медленной позиционирующей руке больших размеров (см. рис. 1).
Рис. 1
Задача управления избыточной манипуляционной системой по заданной в пространстве задания траектории разделена на две подзадачи: кинематическую, связанную с формированием желаемых траекторий в степеняхподвижности манипулятора с исключением вырождения системы и потери степеней свободы, и задачу отслеживания заданной траектории. Конфигурация манипуляционной системы, показанной на рис. 1, определен и вектора к 
и 
в неподвижной системе координат, вводится в рассмотрение расширенный вектор положения системы и координатной системе задания
dim(
) = n,, где n — число степеней подвижности избыточной манипуляционной системы.
Когда задано желаемое положение рабочею органа 
можно из кинематических соображений выбрать, 
таким образом, чтобы неизбыточный малый манипулятор находился в положении, близком к центру его рабочего пространства. Если позиционирующая часть избыточной манипуляционной системы имеет три степени подвижности и используется для того, чтобы обеспечить основанию малого манипулятора три поступательные степени свободы, вектор 
refможно выбрать и соответствии с выражением
(1)
где 
— поступательная составляющая вектора ,; 
постоянный вектор, определяющий положение центра рабочей зоны малого манипулятора по отношению к его основанию. Если позиционирующая рука имеет одну или две степени подвижности, то
(2)
где 
и 
проекции и на степени свободы основания манипулятора.
Расширенный вектор положена является функцией угловых координат робота
(3)
Если задан вектор Ра, то угловые координаты робота могут быть определены из обратного преобразования
(4)
Таким образом по заданному изменению Ра,refможно сформировать эталонную траекторию 
которая должна быть отработана следящей системой.
Однако при управлении движением рассматриваемого классом манипуляционных систем по заданной траектории возникает ряд проблем. Для того чтобы позиционирование осуществлялось точно, необходимо, чтобы координаты
, i=1, …, n были достаточно близки к соответствующим значениям 
. Это означает, что в тех случаях, когда позиционирующая рука манипуляционной системы является большой и медленной, а манипулятор — малым и быстрым, инерционная позиционирующая часть огрничи- вает полосу пропускания всей системы. Кроме того, такой метод; управления требует значительных величин моментов в степенях подвижности. Ниже предлагается подход, позволяющий обеспечить точную отработку 
при «меньшей точности движения позиционирующей руки . При этом высокочастотная составляющая задания выполняется манипулятором, а низкочастотная — позиционирующей рукой.
Уравнение движения n-звенного манипулятора может быть представлено в форме
,(5)
где M(q) — матрица инерции;
— вектор, включающий в. себя кориолисовы центробежные члены, а также силы трения и тяжести;
— вектор входных моментов. Взаимосвязь скорости изменения положения в пространстве задания и скорости движения в угловой системе координат представляется соотношением
(6)
где 
матрица Якоби, 
.
С использованием рассчитанной по динамической модели линеаризующей развязывающей обратной связи систему (5) можно привести к n несвязанным двойным интегратором. В угловых координатах манипулятора его состояние определяется вектором 
,
где 
и 
.
Используя закон управления вида
r=M(q)u-n(q,
),(7)
можно привести результирующую модель замкнутой системы к форме
(8a)
,(8b)
где u — вектор управления системой, представляющей собой n несвязанных между собой двойных интеграторов. Состояние системы в пространстве задания определяется вектором 
, где 
и 
. Закон управления вида
, (9)
для системы (5) с учетом
(10)
=
(11a)
(11b)
Описанный метод управления может быть использован для управления рассматриваемыми манипуляционными системами. Предполагается, что n xn матрица Якоби расширенной системы
является неособенной. По аналогии с (9) закон управления
(12)
приводит к модели замкнутой системы в пространстве состояний вида
(13a)
, (13b)
где 
; 
. Синтез управления u осуществляется из условия оптимизации показателя качества
, (14)
где 
,
— заданное состояние системы;
и 
Поскольку требуемая точность отслеживания желаемого положения рабочего органа существенно выше точности отслеживания положения позиционирующей руки, весовые коэффициенты соответствующие отклонениям положения рабочего органа выбираются существенно более высокими, чем соответствующие отклонениям положения позиционирующей руки. Оптимальное управление имеет вид
,(15)
где
и
.
В закон управления могут быть дополнительно включены программная составляющая, рассчитанная по ускорению желаемого движения, и интегральный регулятор
. (16)
Коэффициенты интегральной обратной связи выбираются из соотношения 
что соответствует взаимосвязи постоянных времени интегрирования 
и дифференцирования 
ПИД-регулятора. Показано, что для обеспечения робастности системы существенно большее значение имеет точность вычисления матрицы инерции. Точность вычисления членов n(
мало влияние на устойчивость системы.
Литература:
- Поезжаева Е. В. Промышленные роботы: учеб.пособие: в 3 ч. — Пермь: Изд-во Перм. гос. тех. ун-та,2009. — Ч. 2. — 185 с. 2.
- Поезжаева Е. В., Васенин А. С., Шумков А. Г. Роботизация фермерских хозяйств по обработке растений / Е. В. Поезжаева, А. С. Васенин, А. Г. Шумков // Научно-технический журнал «Вестник» ВСГУТУ. — 2014 — Вып. 3 — С. 59–62
