Предложен алгоритм прогнозирующего управления с интегральной составляющей в контуре управления, который позволяет обеспечить астатизм системы и выполнения ограничений, накладываемые на переменные состояния, а также задающие воздействия. Полученный алгоритм реализован для синтеза цифровой системы управления угловой скоростью вращения вала электродвигателя постоянного тока.
Ключевые слова: алгоритм прогнозирования, функционал качества, синтез, ограничения, электропривод, оптимизация.
В работе рассматриваются вопросы синтеза система автоматического управление электромеханическим объектом на основе метода прогнозирующего управления. Метод прогнозирующего управления широко применяется на практике для решения задач синтеза систем автоматического управления, функционирующих в условиях жестких ограничений, накладываемых на переменные состояния и управления [1].
Следует, что метод прогнозирующего управления близок по своей сути к методу локально-оптимального управления [2] и методу оптимального управления с прогнозирующей моделью на основе обобщенного критерия [3].
В работе описывается алгоритм прогнозирующего управления с интегральной составляющей в контуре управления.
Пусть динамика цифровой системы управления описывается уравнениями:
(1)
где 
— 
–мерный вектор состояния, 
-
-мерный вектор управления, 
-
- мерный вектор выхода, 
-
-мерный вектор возмущений, А, B, C, D — матрицы соответствующих размеров. Области допустимых значений для переменных состояния и управления задаются неравенствами:
где
— векторы соответствующих размеров. Необходимо построить управление в виде обратной связи, при котором 
при 
, где 
— желаемое значение выхода.
В стандартной схеме метода прогнозирующего управления в каждый момент времени 
решается задача оптимизации квадратичного функционала качества.
(2)
где 
— симметричная неотрицательно определенная, 
- симметричные положительно определенные весовые матрицы. Минимум функционала (2) находится с учетом ограничений:
,
где 
- горизонт управления (натуральное число).
Обозначив через 
ошибку слежения, получим вектор 
, удовлетворяющий уравнению:
.
Вектор 
имеет смысл интеграла от ошибки слежения. Известно [4–6], что решение задачи слежения за заданным значением выхода требует наличия интегральной составляющей в алгоритме управления. Прогнозирующее управление с вектором 
в контуре управления, строится следующим образом.
Заменив функционал качества (2) на функционал, содержащий интегральную составляющую, получим:
(3)
где 
- симметричная неотрицательно определенная матрица.
Введем обозначения:
, 
,
, 
, 
, 
,
где
- единичные матрицы размеров 
и 
соответственно.
Из уравнений системы (1) следуют соотношения:
Тогда функционал качества (3) принимает вид:
(4)
где 
, 
и 
— блочно-диагональные матрицы с матрицами 
, 
и 
на диагонали. Ограничения на переменные состояния и управления записываются в виде:
. (5)
(6)
Таким образом, имеем задачу квадратично программирования относительно вектора неизвестных 
с целевой функцией (4) ограничениями (5), (6). С использованием матрицы Гессе целевой функции, которая имеет вид:
.
Очевидно, что положительная 
гарантирует положительную определенность 
.
Задача (4)-(6) решается в каждый момент времени 
. Управление в момент времени полагается равным 
.
Полученный алгоритм реализован для решения задачи синтеза цифровой системы управления угловой скоростью вращения вала электродвигателя постоянного тока. Пусть динамика электродвигателя описывается уравнениями:
(7)
(8)
где 
- угловая скорость (рад/с); 
- сила тока (А); 
- напряжение (В); 
- момент внешних сил (Нм); 
- момент инерции вала двигателя (кг∙м2); 
- индуктивность якорной цепи (Гн); 
- сопротивление якорной цепи (Ом); 
- конструктивные параметры двигателя.
Пусть управление рассчитывается микропроцессором и формируется амплитудно-импульсным модулятором с шагом квантования по времени 
. Тогда модель дискретной системы принимает вид (1), где:
.
Здесь 
— матрицы непрерывной системы, представленной в виде (7),(8).
.
Система управления должна обеспечить выполнение условия
–заданное значение угловой скорости. Ограничения на переменные состояния и управления заданы неравенствами:
Расчеты проводились в системе MATLAB при следующих значениях параметров объектов управления: 
, 
и алгоритма управления: 
. При решении задачи квадратичного программирования использовалась функция quadprog системы MATLAB.
На рис. 1, 2, 3 показаны переходные процессы по угловой скорости, силе тока и управлению полученные для 
и 
. На рис. 4 для сравнения представлены переходные процессы по угловой скорости для системы со стандартным прогнозирующим управлением (линия 1) и для системы с интегральной составляющей в алгоритме управления (линия 2) при 
. Из результатов моделирования видно, что алгоритм с интегральной составляющей по ошибке слежения обеспечивает астатизм системы в отличие от стандартного алгоритма прогнозирующего управления. Рисунки также наглядно показывают выполнение ограничений по угловой скорости, силе тока и напряжению на входе электродвигателя.
Рис. 1, 2, 3, 4. Графики переходных процессов
Литература:
- Clarke D. W. Application of generalized predictive control to industrial processes // IEEE Control Systems Magazine. Vol. 8. 1988 № 2. Р. 49–55.
- Смагин В. И., Параев Ю. И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериями Томск: Изд-во ТГУ. 1996. –171с.
- Красовский А. А., Буков В. И., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными системами. М.: Наука. 1977. –272с.
- Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. –798с.
- Сиддиков И. Х., Измайлова Р. Н. Синтез цифрового алгоритма управления с прогнозирующей моделью // Химическая технология. Контроль и управление. Ташкент. 2010. № 2. –С. 72–76.
- Леоненков А. Ю. Нечеткое моделирование в среде Matlab и fuzzyTech. — СПб.: БХВ, 2003. –720с.
