Как практическое применение вопроса о геометрических преобразованиях и совершенствование знаний, умений и навыков учащихся применять теоретические знания мы предлагаем рассмотреть материал о поворотах правильных многогранников.
Построение правильных многогранников на чертеже развивает не только конструктивные умения и навыки, но и развивает пространственное воображение, умение пропорционально откладывать на чертеже соответствующие элементы многогранника, а также научиться описывать все повороты и другие преобразования многогранников.
Рассмотрим построение всех правильных многогранников и описание всех поворотов, при которых многогранник совмещается со своим первоначальным положением.
Правильный n-угольник на плоскости- n-угольник, у которого равны все стороны и все углы- существует для любого n: если указать на плоскости точку О (центр) и А1 (одну из вершин), то поворотами на углы кратные 180º/ n вокруг точки О из А1 получатся все остальные вершины А2,…,Аn правильного n-угольника с центром О. Но в пространстве существует лишь конечное число различных правильных многогранников.
Со времен Платона и Евклида хорошо известно, что существует ровно пять типов правильных многогранников, докажем этот факт. Пусть все грани некоторого многогранника — правильные n-угольники и k-число граней, примыкающих к вершине (оно одинаково для всех вершин). Рассмотрим вершину А нашего многогранника. Пусть М1,М2,…,Мk- концы k выходящих из нее ребер; поскольку
двугранные углы при этих ребрах
равны, АМ1М2…Мk- правильная пирамида:
при повороте на угол 360º/ k вокруг высоты
АН вершины М1 переходит в М2, вершина
М2-М3,…,Мk- в М1 (рис.1).
Сравним равнобедренные треугольники
АМ1М2 и НМ1М2. У них основание общее,
а боковая сторона АМ1 больше НМ1, поэтому 
М1АМ2<М1НМ2=360º/ k. Но М1АМ2- это угол правильного n-угольника на плоскости, т. е. 180º(n-2)/ n. Итак, 180º k(n-2)/ n<360º, k (n-2)<2n, k<
. Из этого неравенства (и того факта, что k≥3) нетрудно вывести, что для чисел n и k возможны лишь случаи, указанные в таблице. Все соответствующие многогранники можно построить, взяв за основу куб.
Чтобы получить правильный тетраэдр, достаточно взять четыре несмежные вершины куба и отрезать от него пирамидки четырьмя плоскостями,каждая из которых через три из взятых вершин (рис.2).
Такой тетраэдр можно вписать в куб двумя способами. Пересечение двух таких правильных тетраэдров — это как раз правильный октаэдр: многогранник из восьми треугольников с вершинами, расположенными в центрах граней куба.
Самосовмещения многогранников. Какие самосовмещения (вращения, переводящие в себя) есть у куба, тетраэдра и октаэдра? Заметим, что некоторая точка- центр многогранника- при любом самосовмещении переходит в себя, так что все самосовмещения имеют общую неподвижную точку.
Какие вообще в пространстве бывают вращения с неподвижной точкой А, покажем, что такое вращение обязательно является поворотом на некоторый угол вокруг некоторой прямой, проходящей через точку А. Достаточно у нашего движения F (с F(А)=А) указать неподвижную прямую. Найти её можно так: рассмотрим три точки М1,М2= F(М1) и М3= F(М2), отличные от неподвижной точки А, проведем через них плоскость и опустим на неё перпендикуляр АН (рис.3)- это и будет искомая прямая.
(Если
М3=М1, то наша прямая проходит через середину отрезка М1М2, а F- осевая симметрия: поворот на угол 180º.)
Итак, самосовмещение многогранника обязательно является поворотом вокруг оси, проходящей через центр многогранника. Эта ось пересекает наш многогранник в вершине или во внутренней точке ребра или грани. Следовательно, наше самосовмещение переводит в себя вершину, ребро или грань, значит, оно переводит в себя вершину, середину ребра или центр грани. Вывод: движение куба, тетраэдра или октаэдра, совмещающее его с собой, есть вращение вокруг оси одного из трех типов: центр многогранника — вершина, центр многогранника — середина ребра, центр многогранника- центр грани.
Проверим этот вывод для куба. У куба есть ось первого типа — это большая диагональ. Пусть АМ1, АМ2,АМ3- ребра, выходящие из вершины А куба, АВ — его диагональ (рис.4,а). Рассмотрим поворот R, переводящий точки А,М1, М2, соответственно в А, М2, М3. При этом повороте куб совмещается сам с собой, причем вершина В остается на месте, так что ось поворота — диагональ АВ. Повторим этот поворот R трижды; при этом М1 перейдет в М2, затем в М3 и вновь в М1 — куб повернется на 3600 и совместится с первоначальным положением. Поэтому F — поворот вокруг оси АВ на угол 1200.
Вообще, если многогранник совмещается с самим собой при повороте вокруг прямой на угол 3600/ m, то эту прямую называют осью симметрии m-го порядка. Для куба ось первого типа — ось симметрии 3-го порядка, ось второго типа — ось симметрии 4-го порядка (рис.4,б). Сколько всего имеется разных самосовмещений куба? Вокруг каждой оси 3-го порядка есть два разных нетождественных поворота: на угол 1200 и на угол 2400; а осей таких 4 — всего 8 движений. Осей 2-го порядка — 6, вокруг каждой — один поворот- ещё 6 движений. Осей 4-го порядка — 3, вокруг каждой 3 поворота (на углы 900, 1800, 2700) — ещё 9 движений. Итого 8+6+9=23 нетождественных движения. Пар «грань — её вершина» у куба 24 (6 граней × 4 вершины) и любую пару можно перевести движением в любую из 23 оставшихся — на это и требуется 23 разных движения.
В случае тетраэдра оси первого и третьего типов совпадают: ось, проведенная через центр тетраэдра и его вершину, проходит и через центр противоположной грани. Эти оси имеют третий порядок; всего есть 4 таких оси. Оси второго типа — прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра; таких осей три, и они имеют 2-й порядок. Таким образом, тетраэдр совмещается с собой 
различными превращениями, и это согласуется с тем, что у тетраэдра 4
3=12 пар «грань — её вершина».
Движения и симметрия. Рассматривая самосовмещение многогранников, можно включить в их число не только вращения, но и любые движения, переводящие многогранники в себя. Здесь движение — это любое преобразование пространства, сохраняющие попарные расстояния между точками.
В число движений, кроме вращения, нужно включить и зеркальные движения. Среди них — симметрия относительно плоскости (отражение), а также композиция отражения относительно плоскости и поворота вокруг перпендикулярной ей прямой (это — общий вид зеркального движеия, имеющего неподвижную точку). Конечно, такие движения нельзя реализовывать непрерывным перемещением многогранника в пространстве (как нельзя совместить левый ботинок с его зеркальным отражением — правым ботинком).
Все правильные многогранники имеют плоскости симметрии (тетраэдра их — 6, у куба и октаэдра — по 9, у икосаэдра и додекаэдра — по 15). А общее число зеркальных самосовмещений у них оказывается точно таким же, как и число настоящих (собственных) самосовмещений — поворотов (включая тождественное).
Таким образом, мы приходим к окончательному выводу:
угол поворота многогранника при его перекатывании вдоль замкнутого контура равен сумме кривизны его вершин, лежащих внутри этого контура.
Литература:
- Абдуллаев К. Х. и др. Геометрия //экспериментальный учебник с углубленным изучением математики для академических лицеев. Т.:«Ўқитувчи», 2002г.- стр.424.
- Саранцев Г. И. Сборник задач на геометрические преобразования.Издание: второе, переработанное и дополненное.- М.:Просвещение, 1981.-112с.
- Саранцев Г. И. Решаем задачи на геометрические преобразования: Сборник задач по геометрии для организации самостоятельной работы Изд. 3-е, перераб., доп.- М.:Просвещение, 1997.- 192с.
- Султанова Х. А. Научно-методические основы развития геометрических умений и навыков учащихся академических лицеев /диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук-Ташкент, 2006–122с.
