Изучение геометрических преобразований не только способствует созданию более правильных и более современных взглядов на само содержание геометрии, но указывает новые методы решения содержательных геометрических задач, чрезвычайно важные не только для самой математики, но и для ее приложений. При этом учащиеся совершенствуют свои умения и навыки по последовательному выполнению геометрических действия, а также — умения логического перехода с одного уровня сложности на другой, более высокий, правильно изображать пространственные фигуры на чертежах; умения распознавания различных объектов и их свойств, комбинированного применения тех или иных теорем и правил, умения осмысленно подходить к поставленной проблеме.
При этом основной прием — это решение задач повышенной трудности с применением различного типа преобразований и групп преобразований, что развивает умение на практике применять полученные теоретические формулы и преобразования.
З а д а ч а. Докажите, что композиция параллельного переноса и поворота является поворотом на тот же угол. Найдите центр этого поворота.
Решение. Пусть 
, где О1- вершина треугольника ОО1А (рис.1)
ОО1=О1А (по свойству движения)
(по определению параллельного переноса), если α<180º, то 
ОО1= α и треугольник ОО1А отрицательно ориентирован (еслиα<180º, то О1-середина отрезка ОА).
Известно, композиция двух поворотов является тождественным преобразованием тогда, когда центры поворотов совпадают. Оказывается композиция трех поворотов может быть тождественно преобразованной если центры поворотов различны.
Например, если ∆ АВС — отрицательно ориентированный равносторонний треугольник, то
.
Причем композиция трех поворотов тогда и только тогда является тождественным преобразованием, когда она имеет хотя бы одну неподвижную точку и сумма углов поворота равна 360º или 720º.
З а д а ч а. На сторонах ВС и СА треугольника АВС вне его построены равносторонние треугольники ВСN и САР. Найдите углы треугольника МОN, где М-середина стороны АВ и О- центр треугольника САР (рис 2).
Решение. Для определенности будем считать, что ∆АВС ориентирован положительно. Произведем последовательно три поворота с центрами О, N,М на углы 120º,60º,180º в направлении против часовой стрелки. При первом повороте точка А перейдет в точку С, при втором — точка С в В, при третьем- точка В в А, т. е. композиция F=
возвращает точку А в исходное положение. Поскольку углов поворота равна 360º и F(А)=А, F есть тождественное преобразование. Согласно теореме 3 имеем 
, где К-точка пересечения прямых, проходящих через точки О и N и образующих углы КОN=60º и ОNК=30º. Композиция F=
. Значит, точки К и М совпадают, и углы треугольника МОN равны 90º,60º и 30º.
Теперь рассмотрим применение более широкого класса геометрических преобразований: преобразований подобия.
З а д а ч а. На сторонах произвольного треугольника АВС вне его построены треугольники АВМ, ВСN и САР так, что САР =СВN=45º,
АСР=ВСN=30º, АВМ=ВАМ=15º. Докажите, что РМN=90º и РМ=МN.
Решение: Пусть данный треугольник АВС ориентирован положительно (рис.3,а). Рассмотрим композицию:
F=
.
Имеем:
.
Следовательно, F(В)=В, т. е. В — неподвижная точка преобразования F. Так как произведение коэффициентов подобий равно 1 и сумма углов поворота равна 360º, получаем, что F есть тождественное преобразование.
Углы треугольника МNР можно найти, построив образ точки М при композиции F (рис.3,б). Учитывая, что F(М)=М, получим:
Треугольники РММ' и РАС (также, как треугольники NММ' и NВС) подобны и одинаково ориентированы. Треугольники РММ' и NММ' подобны и ориентированы противоположно, ММ' — их общая сторона, значит, они равны; отсюда РМN=90º и РМ=МN.
Решая более общую задачу, чем рассмотренная задача, получим следующий результат:
Если на сторонах произвольного треугольника АВС построены треугольник АВМ, ВСN, АСР и при этом выполнены следующие условия:
А) треугольники ВСN и АСР подобны и ориентированы противоположно;
В) треугольник АВМ равнобедренный с основанием АВ(или М-середина стороны АВ);
С) ориентированных углов ВМА,АРС и СNВ (или АМВ,ВNС и СРА) равна 360º, то РМN=2РАС и РМ=МN.
Еще одну аналогичную задачу, в которой треугольники, построенные на сторонах данного треугольника, не являются подобными можно предложить учащимся для самостоятельного решения.
Литература:
- Абдуллаев К. Х. и др. Геометрия //экспериментальный учебник с углубленным изучением математики для академических лицеев. Т.: «Ўқитувчи», 2002г.- стр.424.
- Саранцев Г. И. Сборник задач на геометрические преобразования.Издание: второе, переработанное и дополненное. – М.: Просвещение, 1981. – 112с.
- 79. Саранцев Г. И. Решаем задачи на геометрические преобразования: Сборник задач по геометрии для организации самостоятельной работы Изд. 3-е, перераб., доп.- М.: Просвещение, 1997.- 192с.
1
