В последние годы математическое моделирование развивается быстрыми темпами благодаря возрастающим потребностям различных сфер общества - в разработке и управлении технических устройств, анализе экономических и социальных процессов и т.д. Сейчас трудно указать область человеческой деятельности, где бы ни применялось моделирование. Математическое моделирование играет синтезирующую роль многих научных дисциплин: математики, физики, биологии, химии и др.
Идея математического моделирования заключается в замещении изучаемого объекта его аналогом, отражающим в математической форме важнейшие его свойства. В общем случае объектом-оригиналом может быть естественная или искусственная, реальная или воображаемая система. Математическая модель выражает существенные черты объекта или процесса языком уравнений и других математических средств. Математическое моделирование понимается как процесс создания математической модели и оперирования ею с целью получения новой информации об объекте исследования. Собственно говоря, сама математика обязана своим существованием тому, что она пытается отразить, т.е. промоделировать, на своем специфическом языке закономерности окружающего мира.
Метод математического моделирования занимает одно из ведущих мест в исследованиях сложных явлений и процессов, так как позволяет количественно описать наиболее существенные связи между переменными в системе, применить достаточно развитый математический аппарат и программные средства для анализа явлений, их прогнозирования и управления. Математическое моделирование - один из основных инструментов системного анализа, позволяющий в ряде случаев избежать трудоемких и дорогостоящих натурных экспериментов.
Создание математической модели предполагает следующие этапы:
1. Постановка задачи.
2. Математическая формулировка задачи.
3. Разработка алгоритма решения задачи.
4. Реализация алгоритма в виде компьютерной программы.
5. Проверка адекватности модели, то есть подтверждение её соответствия изучаемому объекту.
6. Интерпретация полученных данных.
В научной литературе процесс построения математической модели прозвали триадой «модель-алгоритм-задача». В работах [1,2] представлены классические положения математического моделирования.
Классифицируют математические модели по различным основаниям. Так, например, по способу представления свойств объекта выделяют аналитические и имитационные.
Аналитические математические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних.
Аналитическое моделирование основано на косвенном описании моделируемого объекта с помощью набора математических формул. Наиболее существенная характеристика аналитических моделей заключается в том, что модель не является структурно подобной объекту моделирования. Под структурным подобием здесь понимается однозначное соответствие элементов и связей модели элементам и связям моделируемого объекта. К аналитическим относятся, например, модели, построенные на основе аппарата математического программирования, корреляционного, регрессионного анализа. Аналитическая модель всегда представляет собой конструкцию, которую можно проанализировать и решить математическими средствами. Так, если используется аппарат математического программирования, то модель состоит в основе своей из целевой функции и системы ограничений на переменные. Целевая функция, как правило, выражает ту характеристику объекта (системы), которую требуется вычислить или оптимизировать. Переменные выражают технические характеристики объекта (системы), в том числе варьируемые, ограничения – их допустимые предельные значения.
Аналитические модели являются эффективным инструментом для решения задач оптимизации процессов в экономике.
Имитационная модель — это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и производить вычисления интересующих характеристик. Имитационные модели могут быть созданы для гораздо более широкого класса объектов и процессов, чем аналитические.
По способу получения математические модели делятся на теоретические и эмпирические; по особенностям поведения объекта – на детерминированные и вероятностные.
В настоящее время особое внимание уделяется построению математических моделей биологических и социальных явлений. Неисчерпаемые возможности для построения математических моделей имеются в педагогике.
Опровергается достаточно распространенное мнение о том, что процессы, протекающие в обществе, в отличие от физических, очень сложны, многогранны, и поэтому они не подлежат строгому математическому описанию.
Привлечение элементов математического моделирования в педагогические исследования сегодня становится актуальным. Познание психолого-педагогических закономерностей процесса обучения и воспитания в учебном заведении зависит от того, насколько объективно и строго строятся в педагогических исследованиях описания различных сторон деятельности педагога и обучаемого. При этом уровень формализации педагогических процессов может быть разным – от грубой схематизации и упрощения самого процесса, что позволяет описывать отдельные стороны его проявления на строго количественном уровне, до строгого формального описания, позволяющего проводить качественный анализ и прогнозирование.
Однако математическое моделирование в педагогике имеет свои особенности.
Так, математическое моделирование (постановка задачи, выбор или создание модели, ее изучение, интерпретация результатов исследования) педагогических процессов осложняется недостаточной разработанностью теории обучения и воспитания, характеризующей качественные стороны описания таких процессов. Далее, сложность и непредсказуемость педагогических процессов затрудняет построение их моделей. Кроме того, метод математического моделирования, в силу его строгости и четкости зачастую невозможно применить для исследования некоторых педагогических процессов (например, духовное воспитание). Следует также обратить внимание на то, что математическая модель дает несколько неполную информацию об объекте исследования, так как при ее построении используются только те свойства, которые могут быть описаны количественно, и только те связи, которые поддаются описанию языком математики. Однако и такая информация несет немаловажную нагрузку. Одно только выделение показателей, влияющих на характеристики объекта, позволяет избежать ошибок при дальнейшем исследовании, не говоря уже о том, что построение математической модели важно для проверки гипотез исследования, так как усиливает доказательство рассуждений.
В последнее время, особенно в связи с развитием компьютеризации и созданием мощных программных средств возрастает потребность в построении математических моделей в педагогике, адекватных сути исследуемых явлений, а также в анализе этих моделей. Вместе с тем накоплено достаточно много работ, раскрывающих методологию математического моделирования в педагогических исследованиях, содержащих примеры построения и практического применения конкретных математических моделей различных элементов образовательных и педагогических процессов [3].
Рассмотрим фрагмент анализа педагогической системы.
Система преемственности в обучении является открытой системой, поэтому возникает необходимость изучения не только ее структуры, связей между элементами, но и акцентирование внимания на проблемы внешних взаимодействий со средой, ибо они оказывают существенное влияние на развитие системы. Таким образом, систему преемственности в обучении возможно изучать с позиции системно-синергетического подхода. Ибо синергетика, изучая законы самоорганизации, самодезорганизации и самоуправления сложных систем, дает необходимое знание законов самоорганизации и развития систем.
Компоненты системы преемственности (в частности, учебно-познавательная деятельность обучаемых) при переходе с одного уровня обучения на другой испытывают изменения, возмущения или, в терминах синергетики, флуктуации, которые в равновесных, закрытых системах гасятся сами по себе. В открытой системе под воздействием внешней среды подобные флуктуации могут нарастать до такого предела, когда система не в силах их погасить.
Так, например, при переходе из колледжа в вуз меняются условия реализации педагогического процесса (а именно, цели, содержание, методы, формы), которые и являются флуктуациями, воздействующими на систему преемственности в обучении. В зависимости от своей силы они могут иметь совершенно разные для нее последствия. В результате, дальнейшее движение системы может проходить по следующим путям. Если флуктуации открытой системы недостаточно сильны (то есть условия протекания педагогического процесса мало различимы в учебных заведениях), система ответит на них возникновением сильных тенденций возврата к старому состоянию, структуре или поведению. Если флуктуации очень сильны, система преемственности может разрушиться, что отрицательно скажется на качестве образовательного процесса. И, наконец, третья возможность (желательный для системы преемственности вариант) заключается в формировании новой структуры и изменении состояния, поведения, состава системы. Именно в третьем случае возможно прогрессивное развитие системы преемственности в обучении.
Любая из описанных возможностей может реализоваться в так называемой точке бифуркации, вызываемой флуктуациями, в которой система испытывает неустойчивость. Точка бифуркации представляет собой переломный, критический момент в развитии системы, в котором она осуществляет выбор пути; иначе говоря, это точка ветвления вариантов развития.
Для системы преемственности в обучении точкой бифуркации является момент перехода обучаемых с одной ступени образования на другую, момент смены учебного заведения. В случае затягивания процесса перехода системой данной точки бифуркации может произойти ее деградация. Однако управляющая подсистема, в частности подсистема преемственности, связанная с деятельностью обучающих, способна оказать влияние на направление развития системы.
Таким образом, при определенных условиях хаос, возникающий в точке бифуркации, способен не только разрушить систему, но и вывести ее на новый уровень самоорганизации. Значимость точек бифуркации заключается еще и в том, что только в них можно сколь угодно слабыми воздействиями повлиять на выбор поведения системы.
Итак, синергетический подход к исследованию проблем образования позволяет объяснить, а также выработать различные стратегии поведения педагогических систем, ибо синергетика обладает механизмами управления открытых, динамических систем.
Педагогические системы, бесспорно, относятся к разряду сложных систем, как по своей структуре, так и характеру взаимодействий. Однако по традиции в приложениях математики к психолого-педагогической теории и практике основное внимание уделяется использованию вероятностно-статистических методов обработки экспериментальных данных. Но математический аппарат в педагогическом проектировании или исследовании не должен сводиться лишь к этому, поскольку эффективность его применения определяется соответствующей концептуальной платформой, включающей и методологию математического моделирования, которая раскрывает пути построения моделей.
Список литературы:
1. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. — М.: Физматлит, 2005. 320с.
2. Мышкис А. Д., Элементы теории математических моделей. — М.: КомКнига, 2007. 192 с.
3. Лебедева И.П. Математическое моделирование в педагогическом исследовании. – Пермь, 2003. 122 с.
