О квадратурных формулах, использующих значения производных заданного порядка



Рассмотрена задача нахождения определенного интеграла заданной функции на основе ее приближения двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита. Получены конечные формулы для квадратур, использующие значения функции и ее производных до m-го порядка включительно, заданных в концевых точках отрезка интегрирования. Приведен пример вычисления определенного интеграла функции f(x)= sinxдля различных порядков производных, используемых при численном интегрировании.

Ключевые слова: квадратура функций, определенный интеграл, двухточечный многочлен Эрмита, квадратурные формулы с использованием производных.

Известными методами вычисления определенных интегралов — квадратуры функций -являются методы трапеций, Симпсона, Гаусса, Чебышева и другие, изложенные в [1–3].

Одним из подходов к нахождению определенных интегралов от заданной функции является подход, связанный с заменой данной функции, другой, более простой и к последующему вычислению интеграла от этой упрощенной функции. За приближенное значение интеграла от заданной функции принимается значение интеграла от приближающей функции.

Одним из направлений приближения функций является использования интерполяционных многочленов Эрмита, в котором используется данные о значениях не только функции, но и о ее производных до определенного порядка, заданных в узловых точках. Приближение функций с использованием частного вида многочленов Эрмита, именно двухточечных многочленов, когда значения функции и ее производных заданы только в двух концевых точках отрезка, рассмотрено в [4].

Целью данной работы является построение квадратурных формул, основанных на использовании двухточечных многочленов Эрмита.

1. Постановка ирешение задачи

Пусть функция f(x) определена на отрезке [x₀,x₁] и имеет достаточный набор производных на этом отрезке. Пусть также в обеих концевых точках отрезка [x₀,x₁] заданы значения функции f(x) и ее производных до порядка α_i-1 включительно:

(1.1)

Из условия существования производных следует, что для функции f(x) существует определенный интеграл

. (1.2)

Необходимо приблизить этот интеграл интегралом, построенным по функции, которая является приближением к заданной функции f(x). В качестве приближающей функции будем использовать двухточечный многочлен Эрмита, рассмотренный в работе [7].

Согласно результатам работы [4, с. 1097] такой приближающий многочлен H_m(x), удовлетворяющий условиям (1.1) можно представить в различных формах, в частности, как:

. (1.3)

В формуле (1.3) для многочлена H_m(x) буквой ξ обозначена относительная переменная, связанная с исходной переменной x соотношением

, (1.4)

используется условие, что α₀=α₁=α, и буквой m обозначены порядки наивысших производных, используемых для построения двухточечного многочлена H_m(x), т. е. α — 1= m, откуда α = m +1, (1.5)

а коэффициент определен соотношением

. (1.6)

В соответствие с формулой (1.6) коэффициент выражается через биноминальный коэффициент (например, [5, с. 163])

согласно соотношению:

(1.7)

Обозначим через L длину отрезка [x₀,x₁], определенную соотношением

L=x₁-x₀. (1.8)

Тогда формулу (1.3) с учетом формулы (1.4) и (1.8) для двухточечного многочлена можно переписать с использованием только относительной переменной ξ в виде:

(1.9)

Для двухточечного многочлена H_m(x) можно построить определенный интеграл I_m по отрезку [x₀,x₁], определенный соотношением

, (1.10)

или, переходя к относительной переменной ξ, и используя (1.4) и (1.8), в виде:

. (1.11)

Подставляя (1.9) в (1.11) для определенного интеграла I_m получим соотношение:

. (1.12)

Формулу (1.12) можно переписать в виде:

, где (1.13)

коэффициенты и определяются формулами

и (1.14)

. (1.15)

Сделав замену переменной в формуле (1.15) вида , учтя, что при этой замене имеет место равенство -dξ=dξ₁ и изменятся пределы интегрирования, получим:

.

Поменяв местами пределы интегрирования, эту формулу в силу свойств интеграла можно записать в виде:

(1.16)

Из равенства правых частей формул (1.14) и (1.16) следует равенство левых частей, т. е.

,

поэтому в формуле (1.13) достаточно найти выражение, например, для коэффициента .

Формулу (1.14) для коэффициента , пользуясь свойством интеграла и степеней с одинаковыми основаниями, можно записать в виде:

(1.17)

Интеграл вида с использованием формул, представленных в [7, с. 743], можно записать в виде

. (1.18)

Из формулы (1.17) с использованием формул (1.18) и (1.7) для коэффициента получим соотношение:

.(1.19)

Проведя суммирование в правой части формулы (1.19) получим компактное выражение для коэффициента :

. (1.20)

Введя коэффициент , связанный с коэффициентом соотношением:

, (1.21)

для его значения получим формулу:

. (1.22)

В таблице 1 представлены коэффициенты для начальных значений m и j.

Таблица 1

Коэффициенты

j m	0	1	2	3	4
0
1
2
3
4

Формулу (1.13) для представления интеграла I_m можно записать в виде:

. (1.23)

С использованием формулы (1.23) и коэффициентов, приведенных в таблице 1, получаются формулы для интеграла I_m, которые представлены в таблице 2.

Таблица 2

Формулы численного интегрирования

s	m	Формулы для интеграла Im
1	0
3	1
5	2
7	3
9	4

В первом столбце приводится значения s — степени двухточечного многочлена, определенной в соответствии с (1.9) соотношением:

s=2m+1.

Во втором столбце приведены значения m — максимального порядка производной, используемой для построения двухточечного многочлена.

Из формул, представленных в таблице 2, видно, что интеграл I_m, выражается через значения функции и ее производных до m-го порядка включительно, заданных на концах отрезка интегрирования. Отметим, что коэффициенты перед производными зависят от m и j.

Случай m=0 соответствует известному методу трапеций [3, с. 6]. В этом случае двухточечный многочлен H₀(ξ) имеет вид:

, а интеграл I₀ вычисляется как:

,

что соответствует формуле для интеграла, представленной в [1, с. 106].

2. Пример численного интегрирования заданной функции

В качестве примера применения полученных квадратурных формул и оценки их погрешности вычислим значение интеграла от функции y= sinx на отрезке [0,π], т. е.

. (2.1)

Находя первообразную функции y= sinx и используя формулу Ньютона-Лейбница [6, с. 408], определяем точное значение этого интеграла:

.

Используя квадратурные формулы, представленные в табл. 2, и значения производных подынтегральной функции, определяемые соотношением (см. [6, с.149]):

, (2.2)

вычислим значения интегралов I_m, которые можно рассматривать как последовательные приближения к заданному интегралу I, определенному формулой (2.1).

Полученные значения I_m для параметра m=0–4 представлены в третьем столбце таблицы 3. В четвертом столбце приведена погрешность приближения δI_m, как модуль разности между точным и приближенными значениями интегралов, определенная по формуле

.

Таблица 3

Значения интеграла I_m иего погрешности δI_m

m	Im	δIm
0	0.000000000	2.000000000
1	1.644934067	0.355065933
2	1.973920880	0.026079120
3	1.998952025	0.001047975
4	1.999973416	0.000026584

Из таблицы 3 видно, что по мере увеличения порядка используемых производных m, которые определяют порядок метода, значения интегралов I_m стремятся к точному значению интегралаI, соответственно, погрешность δI_m также стремится к нулю.

Можно показать, что для определенных классов функций, в частности, для функции y= sinx последовательность интегралов I_m сходится к интегралу I, т.е .

Сходимость интегралов для рассмотренной функции y= sinx обусловлена ограниченностью производных этой функции на отрезке интегрирования.

Литература:

1. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 248 с.
2. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — 2-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. — 500 с.
3. Никольский С. М. Квадратурные формулы. — 4-е изд. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 256 с.
4. Шустов В. В. О приближении функций двухточечными интерполяционными многочленами Эрмита // ЖВММФ, 2015, № 7, С. 1091–1108.
5. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. СПб.: Изд. Лань, 2010–608 с.
6. Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ. т. 1. М.: Высшая школа, 1970. — 592 с.
7. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984–832 с.