Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции изучены в работах А. М. Нахушева [1], Н. Н. Ланина [2], В. А. Елеева [3], Б.Исломова и Д. М. Курьязова [4, 5].
Несколько нам известно, краевые задачи типа задачи Трикоми и Геллерстедта для вырождающегося нагруженного уравнения смешанного типа второго порядка исследовались сравнительно мало. Отметим работы В. М. Казиева [6], Б.Исломова и Ф.Джураева [7]. Исходя из этого, настоящая работа посвящена постановке и исследованию краевой задачи типа задачи Геллерстедта, для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа в виде
где 
- любые действительные числа, причем
, 
, 
, 
, 
. 
Пусть 
— область, ограниченная отрезками 
, 
, 
, 
прямых 
, 
, 
, 
соответственно, при 
; 
— характеристический треугольник, ограниченный отрезком 
оси 
и двумя характеристиками
уравнения 
, выходящими из точки 
, 
и пересекающимися в точке 
; 
— характеристический треугольник, ограниченный отрезком 
оси и двумя характеристиками 
уравнения , выходящими из точек , 
и пересекающимися в точке 
; 
— характеристический четырёхугольник, ограниченный характеристиками 
, 
и 
, 
уравнения , пересекающимися в точках 
, 
, 
и 
при 
, причем 
.
Введем следующие обозначения:
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, причем 
В области 
для уравнения 
исследуются аналоги задачи Геллерстедта.
Задачи. Найти функцию 
, обладающую следующими свойствами:
1) 
;
2) 
является регулярным решением уравнения в областях
;
3) удовлетворяет краевым условиям
, 
, 
, 
, 
, 
, 
; 
4) на линии вырождения 
выполняется условия склеивания
, 
равномерно при 
,
где 
, 
, 
, 
— заданные функции, причем 
,
, 
, 
Теорема. Если выполнены условия 
, 
, и то в области 
существует единственное решение задачи.
Литература:
- Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения. //«Дифференциальные уравнения». 1983. Т.19. № 1. С. 86–94.
- Ланина И. Н. Краевая задача для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка. //«Дифференциальные уравнения». 1981. Т. 17. № 1. С. 97–106.
- Елеев В. А. О некоторых краевых задачах для смешенных нагруженных уравнений второго и третьего порядка. //«Дифференциальные уравнения». 1994. Т. 30. № 2. С. 230–237.
- Исломов Б., Курьязов Д. М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения второго порядка // «Доклады АН РУз». 1996. № 1–2. С.3–6.
- Исломов Б., Курьязов Д. М. Краевые задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа. // «Узбекский математический журнал». 2000. № 2. С. 29–35.
- Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. //«Дифференциальные уравнения». 1978. Т.14. № 1. С.181–184.
- Исломов Б., Джураев Ф. Аналог задачи Трикоми для вырождающегося нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа. // «Узбекский математический журнал». 2011. № 2. С. 75–85.
