В прямоугольной области
изучается краевая задача для модельного уравнения второго порядка
(1)
где
и 
,
и 
,
.
Пусть 
, 
, 
вектор внутренней нормали к границе 
области 
, 
. Заметим, что уравнение (1) в области является уравнением смешанного типа. А именно в 
оно будет гиперболо-параболическим, в 
эллиптико-параболическим, прямая 
есть линия вырождения типа уравнения.
Краевая задача: Найти в области решение уравнение (1) условие:
(2)
Численное решение краевой задачи (1)-(2) является непростой задачей ввиду того, что для нее не построена устойчивая разностная схема. В настоящей работе предлагается конструктивный подход построения устойчивой разностной схемы. При построении разностной схемы учитывается тип уравнения, т. е. строится гибридная схема.
С помощью функционального подхода в работе [1] доказана следующая теорема:
Теорема1. Пусть выполнены условия
в окрестности точек 
и 
, кроме того, 
вдоль характеристики. Тогда если решение задачи (1)-(2) их пространства 
существует, то оно единственно. Здесь через 
обозначено пространство Соболева с весом, которое получается замыканием класса дважды непрерывно дифференцируемых в 
функций, удовлетворяющих условию (2) по норме:
.
Разностная схема. Схему будем строить отдельно в области и отдельно в области . С этой целью в области 
строим разностную сетку, 
. Здесь 
— шаг по 
, а 
— шаг по 
.
Введем в рассмотрение следующие обозначения:
, 
, 
— операторы сдвига: 
, 
,
а также
— разностные операторы: 
.
С помощью этих обозначений в области предлагаем следующую разностную схему:
Разностная схема (3)-(4) является незамкнутой. Для нее требуется задание так называемого дополнительного граничного и начального условия. Для простоты мы предлагаем следующие дополнительные начальные и граничные условия:
, 
(5)
, 
, 
(6)
Система линейных алгебраических уравнений (3)-(6) относительно неизвестных 
— образует полную систему. Для разностной схеме верна следующая оценка:
(7)
Шаги разностной сетки выбираем из условия:
и 
, 
; 
(8)
Тогда если 
, то 
, при 
, 
.
Таким образом, энергетическая оценка (7) при условии (7) обеспечивает однозначную разрешимость и устойчивость разностной схемы (3) –(6) в области
.
Разностную схему исследуем в области 
. Поскольку уравнение (1) в области 
является гиперболо-параболическим, применяем следующий подход. Заменим уравнение (1) в области эквивалентной ему симметрической системой первого порядка:
, 
, 
(9)
где 
, 
, 
, 
, 
условием при 
(если )
, 
, 
(10)
Для задачи (9)-(10) легко можно получить априорную оценку:
, 
где 
, 
, 
— некоторые постоянные.
В частности при 
, 
имеем 
и 
откуда следует 
и следовательно 
, 
в области . Это дает нам возможность легко применить разностные схемы, предложенные в работе [2] для численного решения уравнения (1) в области и получить энергетические оценки типа (8).
Литература:
- Рахмонов Х. О. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа в пространстве. — Новосибирск, 1985. -22с. (Препринт/ АН СССР, сиб.отд. ИМ, N-12).
- Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем. Изд-во Новосибирского университета, 1993, 68 с.
