О решении прикладных задач

Обучение решению прикладных задач математическими методами не является задачей математических курсов, а задачей курсов по специальности.

Ключевые слова: математические методы, уравнение Лапласа, математические модели, корректность, асимптотическое поведение, существование, единственность, детерминированные, математический эксперимент, вычислительная техника.

Это положение касается одного из тех вопросов, по которому особенно часто критикуются как математические курсы в высших технических учебных заведениях, так и учебники по математике для них. Безусловно, простейшие конкретные примеры, иллюстрирующие применение математических понятий для изучения реальных явлений, как-то: иллюстрация понятия производной скоростью движения материальной точки или линейной плотностью стержня, интеграла — работой силы, составление дифференциальных уравнений — выводом уравнения радиоактивного распада и т. п., весьма полезны. Более того, было бы ошибкой понимать девятое положение как рекомендацию нецелесообразности обучения студентов решению прикладных задач математиками. Это всегда делалось и будет делаться, потому что это нужно и полезно.

Дело не в этом, а в том, что систематическое обучение студентов применению математических методов, изучаемых ими в курсе математики, к решению прикладных задач обязательно должно осуществляться на профилирующих кафедрах высшего технического или другого специального (нематематического) учебного заведения. Это должно являться непреложной обязанностью этих кафедр. Только в этом случае у учащегося может создаться убежденность в полезности и необходимости знания и использования математических методов в его профессии [3, 4].

Если на профилирующих кафедрах этого не делается, то, возможно, это признак того, что для данной специальности вовсе и не нужна математика в том объеме, в котором она изучается в данном институте, а может быть, и признак неблагополучной постановки изучения в нем специальных дисциплин. Во всяком случае, существенно большая польза от изучения математики будет в том случае, если в процессе всего обучения в институте она будет достаточно широко использоваться при изложении специальных дисциплин, если на старших курсах будут читаться нужные для специальности дополнительные главы математики, не входящие в основной курс, в общем, если в вузе будет осуществлено непрерывное математическое образование. Увы, пока это далеко не всегда так.

Подчеркнем, что смысл девятого положения отнюдь не в разделе сфер влияния, а, наоборот, в эффективном сотрудничестве в зонах соприкосновения математических и специальных кафедр.

К математическим курсам нередко предъявляются претензии, что в них в недостаточном количестве выводятся дифференциальные уравнения, описывающие реальные явления. Этого рода критика нередко связана с присущей многим людям манерой, не делая того, что они сами обязаны делать, убежденно говорить, что это должны делать другие, и критиковать их за то, что они делают это плохо. В этом вопросе следует четко отдать себе отчет в том, что математическое моделирование реальных явлений, т. е. составление математической модели такого явления, — это не задача математики.

Задача математики, как это отмечалось выше, состоит в изучении математической структуры, ее свойств и особенностей. Большое удивление должно вызывать не то, что в математических курсах не строятся все математические модели, не выводятся все дифференциальные уравнения, необходимые для данной специальности, а то, что это не делается в специальных курсах. Так, например, трудно найти общий физический курс (конечно, здесь не имеется в виду теоретическая физика), в котором бы выводилось уравнение Лапласа или уравнение теплопроводности для описания какого-либо явления. Еще труднее найти в этих курсах анализ различных граничных условий рассматриваемых в них уравнений(предполагается, по-видимому, что все это должны делать математики, однако, даже при их желании, они лишены возможности это сделать в рамках времени, отводимого на математические курсы).

К упрекам рассматриваемого здесь типа в адрес математических курсов следует отнести еще упрек, состоящий и в том, что после изучения курса математики студенты не знают обычно нужного физического смысла какого-то члена в каком-то уравнении. Мне представляются подобные упреки к общему курсу математики несправедливыми. Выяснение конкретного физического смысла члена уравнения — это также дело специальных дисциплин, и не следует его перекладывать на плечи математиков (подчеркнем еще раз, что речь идет об общем курсе математики, а не о специальных курсах, направленных на конкретную цель, обусловленную будущей профессией студента). Поскольку математика изучает математические модели, то ее задачей при изучении уравнений могут являться вопросы, например, следующего вида: как влияет изменение данного члена уравнения на существование решения, его единственность, его асимптотическое поведение, на корректность постановки задачи, на устойчивость решения и т. д. и т. п. Научить подобным вещам, кстати, совсем не просто, а когда студент этим овладеет, он легко усвоит и конкретные факты, нужные ему по его специальности, которые должны быть изложены в специальных курсах.

Особенно следует подчеркнуть важность и необходимость для многих специальностей умения составлять нетолько детерминированные математические модели но вероятностно-игровые, умения выбирать и использовав для этого статистические и опытные данные, обрабатывай их в случае необходимости с помощью современной вычислительной техники.

Методика обучения математическому моделированию разработана в настоящее время совершенно недостаточно. Однако, было бы неправильно возлагать основную работу в этом направлении на математиков; главную роль здесь должны играть специалисты (физики, химики, биологи, экономисты и т. д.).

Не следует, конечно, думать, что математики не должны принимать участие в составлении математических моделей и обучать этому составлению. Совсем наоборот. Это не только желательно, но, по-видимому, и необходимо: хотя математическое моделирование но входит в математику, но оно входит в деятельность математиков. Поэтому обучение ему студентов должно проводиться совместно специалистами в соответствующих областях и математиками, по делаться это должно в специальных курсах на высоком профессиональном уровне, с полным пониманием существа дела.

Правда, в настоящее время подготовка специалистов по математическому моделированию находится в руках математиков. Это, по-видимому, неизбежно, поскольку достаточно квалифицированно этот вопрос может быть решен лишь на основе хорошего математического образования. Однако, возможно, недалек тот день, когда нужную математическую подготовку будут иметь также студенты физических, биологических, технических, медицинских, экономических и других специальностей, что позволит осуществлять подготовку нужных специалистов по математическому моделированию в соответствующих специальных высших учебных заведениях [2]. При этом следует еще раз подчеркнуть, что обучение математическому моделированию должно входить как часть в специальное образование, а не проводиться за счет общего математического образования. Изучение математики нельзя подменять обучением составлению математических моделей. В математических курсах математическое моделирование может носить лишь иллюстративный характер.

Особенно на вопросы математического моделирования следует обратить внимание в тех областях, в которых в настоящее время лишь создаются основные математическиемодели для изучаемых объектов. Сюда следует отнести, например, экономику, биологию, медицину, планирование, управление, социологию, лингвистику. Математическое моделирование заслуживает особенного внимания, поскольку оно играет все большую роль во многих областяхсовременной науки и техники, являясь мощным и экономически выгодным средством как для проведения научных исследований, так и для выполнения самых разнообразных экспериментальных и конструкторских работ. Например, использование математических моделей при проектировании самолетов и кораблей и расчет их на компьютер экономически во много раз более выгоднее создания экспериментальных образцов.

Однако математическое моделирование и проведение с помощью построенной модели «математического эксперимента» дают не только экономическую выгоду, а существеннорасширяют возможности эксперимента. Математический эксперимент можно провести для изучения таких явлений, которые в естественных условиях протекают с нашей точки зрения столь медленно, что постановка реального эксперимента теряет всякий смысл. Более того, математический эксперимент можно применить для исследования таких ситуаций, которые мы просто не в силах воспроизвести в реальных условиях. Так, например, с помощью математических экспериментов изучаются эволюция Вселенной, эволюция жизни на земле или вообще эволюции каких-либо популяций (иногда даже воображаемых!), т. е., в частности, явления, которые мы в целом но в силах наблюдать в пределах человеческой жизни [1].

Ненужно, впрочем, думать, что математический эксперимент полностью заменяет реальный. Это не так прежде всего потому, что математический эксперимент имеет дело не с самим явлением, а лишь с его математической моделью. Однако интересно и важно отметить, что математический эксперимент, как и всякий эксперимент, может привести к открытию новых реальных явлений, например, физических.

Таким образом, математическое моделирование в сочетании с современной вычислительной техникой дает в руки ученых качественно новые методы исследования качественно новые методы управления процессами как естественными, так и порожденными деятельностью человека. Его широкое использование, по существу, необходимо для успешного развития наук. Оно составляет неотъемлемую часть процесса накопления знаний человеческим обществом и приводит к необходимости подготовки специалистов нового типа, владеющих не только своей специальностью, но и математикой, знающих методы математического моделирования и умеющих их творчески использовать. Поэтому в наши дни должно быть затрачено особое усилие на подготовку специалистов, способных квалифицированно решать задачи математического моделирования.

Вопрос о подготовке таких специалистов делается сейчас одним из самых важных и актуальных вопросов современного образования. Правильная организация обучению составления математических моделей возможна лишь при хорошей координации усилий в этом направлении математиков и специалистов в соответствующих областях.

1. Самарский А. А. Что такое вычислительной эксперимент? — Наука и жизнь, М:, 1979, № 2.
2. Тихонов А. Н. Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике — М: Наука, 1979.
3. М. Олимов, К. Исманова, П. Каримов, Ш. Исмоилов. Математическое пакеты прикладных программ, Ташкент, «Тафаккур бўстони», 2015.
4. М.Олимов, О. Жакбаров, Ф. Ирискулов. Алгоритм решения прикладных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка с методом дифференциальной прогонки // Молодой ученый. — 2015. — №. 6. — С. 193–196.