В математике и ее приложениях постоянно приходится иметь дело с приближенными представлениями функций. Классическими аппаратами таких представлений являются многочлены и рациональные дроби.
Пусть даны 
пары 
, 
.
Проблема интерполирования состоит в нахождении функции 
такой, что
(
),
и 
интерполирует
в узлах
. Говорят о полиномиальном интерполировании, если 
является алгебраическим полиномом, тригонометрической аппроксимации, если 
— тригонометрический полином, или кусочно-полиномиальной интерполяции (или сплайн-интерполяции), если 
является только локально полиномиальным.
Задача полиномиальной интерполяции — найти полином 
, называемый интерполяционным полиномом, такой, что
.
Точки 
называются узлами интерполяции.
Многочлены обладают рядом недостатков, как аппарат приближения для функций с особенностями и функций с не слишком большой гладкостью.
В этой работе рассматривается постановка задачидля построения интерполирования в пространстве Соболева 
непериодических функций, у которых обобщенные производные порядка 
интегрируемы с квадратом.
Значение
ошибки интерполяционной формулы в некоторой точке
есть функционал над классом функцией 
:
(1)
где
(2)
функционал погрешности интерполяционной формулы 
, 
– коэффициенты, а 
–узлы интерполяционной формулы (1), 
, 
–дельта-функция Дирака, 
.
Коэффициенты 
связаны линейными условиями
(3)
Функционал 
-ограниченныйи линейный в пространстве 
, а его норма определяется равенством
Следовательно, оценка погрешности интерполяционной формулы
на функциях пространства 
сводится к нахождению нормы функционала (2) в сопряженном пространстве 
.
Итак, для оценки погрешности интерполяционной формулы (1) достаточно решить следующую задачу.
Задача 1. Найти норму функционала погрешности 
рассматриваемой интерполяционной формулы 
.
Эта задача решается в случае, когда существует так называемая экстремальная функция интерполяционной формулы, т. е. такая функция 
, для которой выполняется следующее равенство
Очевидно, что норма функционала погрешности 
зависит от коэффициентов 
и узлов 
.
Если
,(4)
тогда функционал 
называетсяоптимальнымфункционалом погрешности, а соответствующуюая интерполяционная формула–оптимальной интерполяционной формулой.
Таким образом для того чтобы построить оптимальную интерполяционную формулу надо решить следующую задачу
Задача 2.Найти такие значения 
и 
, чтобы выполнялось равенство (4).
и 
соответсвенно называются оптимальными коэффици-ентами и оптимальными узламиинтерполяционной формулы (2.1).
Литература:
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974.-808 с.
- Шадиметов Х. М. Оптимальные решетчатые квадратурные и кубатурные формулы в пространствах Соболева. Дис. докт. физ.-мат. наук. -Ташкент, 2002. -218 с.
-
Хаётов А. Р. Об оптимальных интерполяционных формулах в пространстве
// Узб. матем. журн. –Ташкент, 2010. № 2. -С. 173–179.
