Рассмотрим кубатурную формулу вида
(1)
над пространством Соболева 
, где 
— 
-мерный единичный куб.
Обобщённая функция
(2)
называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1),
является погрешностью кубатурной формулы (1), 
весовая функция, 
— характеристическая функция 
, 
и 
— коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и 
— дельта-функция Дирака.
Определение. Пространство 
— определяется как пространство функций заданных на 
-мерном единичном кубе 
и имеющие все обобщённые производные порядка 
, суммируемые со степенью 
в норме (см. [1])
(3)
где
Справедлива следующая
Лемма. Если для функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) выполняется условие Декартовых произведений, т. е.
и
- константы,(4)
т. е.
- константы, 
,(5)
то
- константа,(6)
или
,
где 
,
и 
.
С помощью этой леммы легко доказывается следующая теорема.
Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при 
и 
является оптимальной по порядку сходимости над пространством 
т. е. для нормы функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) имеет место равенство
.
Доказательство.
На основе леммы при 
имеем 
, 
.
Итак,
.(7)
Подставляя (7) в неравенство
получим
,(8)
Из теоремы Н. С. Бахвалова [3] и неравенство (8) следует доказательство сформулированной теоремы.
Литература:
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974–808с.
- Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Наука. 1988, — 333с.
- Бахвалов Н. С. С Оценки снизу асимптотических характеристик классов функций с доминирующей смешанной производной, Мат. заметки, 1972, т.2. № 6, -С.655–664.
