Рассмотрим кубатурную формулу общего вида
(1)
над пространством С. Л. Соболева . Здесь, соответственно,
и
являются коэффициентами и узлами кубатурной формулы (1),
— весовая функция,
,
—
-мерный тор и
— порядок обобщенных производных и
.
Определение 1. Множество , где
, т. е. дробная доля
, называется
-мерным тором
.
Определение 2. Пространство — определяется как пространство функций, заданных на
- мерном торе
и имеющих все обобщенные производные порядка
суммируемые с квадратом в норме [1–4]
(2)
со скалярным произведением
(3)
где — коэффициенты Фурье, т. е.
.
Разность между интегралом и кубатурной суммой, т. е.

называется погрешностью кубатурной формулы (1), и этой разности соответствует обобщенная функция
(4)
и назовем ее функционалом погрешности кубатурной формулы (1). Здесь — характеристическая функция
.
Задача построения оптимальных кубатурных формул над пространством Соболева — это вычисление следующей величины:
(5)
где — сопряженное пространство к пространству
. Для оценки погрешности кубатурной формулы необходимо решить следующую задачу.
Задача 1. Найти норму функционала погрешности (4) данной кубатурной формулы.
Сначала мы должны вычислить норму функционала погрешности
в пространстве
, а потом если требуется построить оптималную кубатурную формулу, варьируя
и
, необходимо решить следующую задачу
Задача 2.Найти такие значения и
, чтобы выполнялось равенство (5).
В настоящей работе занимаемся решением задачи 1 для кубатурной формулы общего вида (1), т. е. вычислением нормы



Теорема 1.Квадрат нормы функционала погрешности (4) кубатурной формулы общего вида (1) над пространством равен
(6)
где — коэффициенты,
— узлы кубатурной формулы (1) и
— коэффициенты Фурье функции
, т. е.
.
Справедлива следующая
Теорема 2.Функция
является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и .
На основании теоремы 1 функционал погрешности (4) кубатурной формулы (1) для функций из класса имеет оценку: [4]
Литература:
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. — 808с.
- Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
- Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. Ташкент: Фан, 1985. — 104 с.
- Шарипов Т. Х. Некоторые вопросы теории приближенного интегрирования. Диссертация кандидата физ.-мат. наук. Ташкент, 1975. — 102 с.