В настоящей работе рассматривается наиболее распространенный вид кубатурной формулы [1]
(1)
в пространстве 
на поверхности сферы, где 
мерная единичная сфера, 
— интегрируемая функция по сфере 
, т. е. 
и 
,
где 
— сферическая гармоника порядка 
вида 
. Здесь индекс 
получен в результате нумерации сферических функций одного и того же порядка 
и меняется в пределах 
— число линейно независимых сферических гармоник порядка 
. Функции
будем считать ортогональными на сфере 
.
Функционал погрешности кубатурной формулы (1) имеет следующий вид:
, (2)
где 
— дельта — функция Дирака, 
и 
— коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1).
Следующая теорема без доказательства приведена в работе Г. Н. Салихова [2].
Теорема 1. Норма функционала погрешности
кубатурной формулы (1) над пространством 
равна
,
где
.
Доказательство. Известно [2], что если 
, то для абсолютной и равномерной сходимости ряда
,
где 
— сферические гармоники порядка 
, достаточно выполнение условия 
.
Таким образом, функция 
может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по сферическим гармоникам
, (3)
где 
— сферические гармоники порядка 
вида 
;
; 
— число линейно независимых сферических гармоник:
.
Подставляя (3) в левую часть (1), находим
,
. (4)
Если в правой части (4) 
умножить на 
, а кубатурную сумму разделить на этот множитель и применить неравенство Коши, то получим
. (5)
Из (5) следует
. (6)
Для того чтобы получить равенство (6) рассмотрим функцию
, (7)
где
. (8)
Так как для сферических функций имеет место оценка
max 
,
то из определения (8) коэффициентов ряда (7) следует, что
.
Вычислив погрешность кубатурной формулы (3) для этой функции, получим следующее равенство:
. (9)
Сопоставляя (6) и (9) находим, что
,
где 
является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1), т. е. 
— функция Рисса для функционала погрешности 
, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Равенство (9) подтверждает, что
,
действительно, является экстремальной функцией для кубатурной формулы (1) и 
, где 
- ортонормированная сферическая гармоника порядка 
, вида 
и 
- число линейно независимых сферических гармоник порядка 
.
Литература:
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974. — 808 с.
- Салихов Г. Н. Кубатурные формулы для многомерных сфер. — Ташкент: Фан, 1985.
- Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа, 1973. — 173с.
