В статье рассмотрено интегральное уравнение Вольтерра второго рода с заданным ядром. Такого рода интегральные уравнения возникают при решении некоторых граничных задач для существенно-нагруженных дифференциальных параболических уравнений в неограниченной области.
Ключевые слова:интегральные уравнения Вольтерра второго рода, модифицированная функция Бесселя, неполная гамма-функция, обобщенная гипергеометрическая функция, символ Похгаммера.
При отыскании решений некоторых граничных задач для существенно-нагруженного дифференциального параболического уравнения естественным образом возникает необходимость исследования интегральных уравнений Вольтерра второго рода следующего вида [1]
, (1)
где 
— числовой параметр уравнения, 
— известная функция, определенная на промежутке 
, ядро 
интегрального уравнения (1) имеет вид
,
,(2)
, (3)
причем 
— модифицированная функция Бесселя, 
— числовой параметр, 
, 
— заданная, принимающая положительные значения функция, 
— искомая функция.
Функция 
определяет ядро интегрального уравнения (1). Вычислим функцию и представим различные ее интерпретации.
Учитывая, что [2]
при 
; 
, где 
, 
, 
— символ Похгаммера, из (3) получим
, 
. (4)
Подставив (4) в (2), получим следующее представление функции
.
Для функции , можно получить другое соотношение, используя интегральное представление модифицированной функции Бесселя [2]
. (5)
Учитывая, что [2]
при 
, 
, соотношение () преобразуем к виду
, (6)
, (7)
.
Так как [2]
, где 
,
то
. 
.
Учитывая нечетность и четность подынтегральных функций в первом и во втором интегралах последнего соотношения, получим
. Так как [80]
при ; 
,
где
— обобщенная гипергеометрическая функция, 
— вырожденная гипергеометрическая функция, 
, 
, — символ Похгаммера, 
, 
, то соотношение для 
примет вид
=
. (8)
Представление (6) с учетом (7) и (8) получим в виде
.
Учитывая свойства гамма-функции и бета-функции перепишем последнее соотношение для 
следующим образом
,
. (9)
Подставляя (9) в (3), получим следующее представление для функции 
,
Используя различные представления функции ядра интегрального уравнения, исследуются вопросы разрешимости интегрального уравнения (1).
Литература:
- Есбаев А. Н., Есенбаева Г. А., Об одной граничной задаче для нагруженного дифференциального оператора теплопроводности при неподвижной точку нагрузки //Вестник Карагандинского государственного университета. Серия Математика. — 2013. — № 2. — С. 65–69
- Прудников А. П., Брычков Ю. А., Марычев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. Т. 2. Специальные функции. Москва, 2003, 664 с.
