Матрицы составляют основной аналитический аппарат для изучения линейных операций в 
–мерном пространстве [1]. В свою очередь изучение этих операций дает возможность разбить все матрицы на классы и выявить важные свойства, присущие всем матрицам одного и того же класса.
Известно, что при изучении спектральных свойств блочно-операторных матриц 
важную роль играют свойства собственных значений числовых матриц . Например, при оценке нижней границы блочно-операторных матриц с помощью соответствующей квадратичной числовой образа [2]. С этой целью в настоящей работе изложим некоторые важные свойств таких матриц.
Для 
рассмотрим матрицу
. (1)
При исследовании структуры матрицы 
большую роль играют векторы 
, для которых 
. Такие векторы называются собственными векторами, а соответствующие им числа 
–собственными или характеристическими числами матрицы 
. Очевидно, что матрица 
имеет два собственных чисел с учетом кратности. Собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, всегда линейно независимы.
Сформулируем основной результат настоящей работы.
Теорема 1.Для собственных чисел 
,
матрицы 
имеют места следующие:
(а) Если 
и 
, то
(1.1)
;
(1.2)
;
(1.3)
(б) Пусть 
и 
. Тогда
(2.1)
(2.2) если 
, то 
, если при этом
, то 
;
(2.3) если 
и 
, то
, 
.
(в) Если 
и 
, то
,
.
Доказательство. (а) Пусть
и . Предположим, что 
(в противном случае рассмотрим 
) и
(2)
(в противном случае вместо 
берем 
). Из условие (2) вытекает, что
.(3)
Собственные значения 
удовлетворяет уравнению
.
Мы рассмотрим как функция от 
и напишем
. (4)
Разложим вещественные и мнимые части
; 
.
Возводя на квадрат обе части равенства (4) и приравняв вещественные и мнимые части получим, что 
и 
удовлетворяют соотношение
;(5)
.(6)
Последняя уравнение показывает, что собственные значения 
лежат в гиперболе с центром 
и асимптотой 
и 
параллельно к вещественным и мнимым осям. Из тождества (5) следует, что при 
собственные значения 
заполняет правый ветвь из 
до 
, а собственные значения 
заполняет левый ветвь из 
до 
. Отсюда следует утверждение (1.1) и (1.2). Чтобы доказать утверждение (1.3) достаточно показать, что производное гиперболы в точках 
и 
по модулю меньше чем 
. Например, для производное в точке 
из (6) следует, что
,
которое, в силу (3), по модулю меньше чем .
(б) Доказывается аналогично.
(в) Пусть и . Построим характеристическое уравнение для 
.
Ясно, что нули этой уравнение, т. е. числа
; 
,
являются собственными значениями матрицы 
.
Используя соотношение
перепишем 
виде 
. Теперь простые вычисления показывают, что
. Таким образом
.
Совершенно аналогично показывается, что
.
Теорема 1 доказана.
Литература:
- Ф. Р. Ганхмахер. Теория матриц. — 4-е изд. –М.: Наука, 1988.
- C. Tretter.Spectral theory of block operator matrices and applications. — London:Imperial College Press, 2008.
