Расчет балок с микронеоднородной структурой с применением сложных многосеточных элементов



Как известно, базовые дискретные модели балок с микронеоднородной структурой, которые учитывают их структуру, имеют очень высокую размерность. В данной работе показан расчет упругой композитной балки с применением сложных многосеточных конечных элементов (МнКЭ) формы прямоугольного параллелепипеда. Кратко изложены процедуры построения сложных МнКЭ формы прямоугольного параллелепипеда для расчета упругих композитных балок. При проектировании сложного МнКЭ используются двухсеточные конечные элементы (ДвКЭ). При построении ДвКЭ применяем две вложенные узловые сетки: мелкую и крупную. Мелкая сетка порождена базовым разбиением ДвКЭ, которое учитывает его неоднородную (микронеоднородную) структуру. Крупная сетка используется для понижения размерности базового разбиения ДвКЭ. Предлагаемые сложные МнКЭ в композитных балках описывают трехмерное напряженное состояние, учитывают неоднородную (микронеоднородную) структуру и образуют многосеточные дискретные модели малой размерности. Напряжения определяются в любом компоненте неоднородной структуры балок.

Ключевые слова: упругость, композиты, балки, метод конечных элементов, сложные многосеточные конечные элементы.

Введение

Расчет по методу конечных элементов (МКЭ) упругих трехмерных балок с учетом их структуры сводится к построению базовых дискретных моделей высокого порядка [1, 2], что порождает проблемы при реализации МКЭ на ЭВМ. В [3, 4] разработаны многосеточные конечные элементы (МнКЭ), которые проектируются на основе базовых дискретных моделей и порождают многосеточные дискретные модели балок малой размерности. Однако для балок с микронеоднородной структурой необходимо использовать достаточно мелкие базовые разбиения, что приводит к резкому увеличению размерности дискретных моделей, в этом случае применение МнКЭ малоэффективно [3, 4], Здесь лучше применять сложные МнКЭ [5, 6], при построении которых используются двухсеточные конечные элементы (ДвКЭ) формы прямоугольного параллелепипеда [3, 4]. В данной работе кратко изложены процедуры построения ДвКЭ, сложных МнКЭ формы прямоугольного параллелепипеда, которые имеют неоднородную структуру. Достоинства предлагаемых сложных элементов состоят в следующем:

– учитывают неоднородную (микронеоднородную) структуру трехмерных упругих балок;

– образуют многосеточные дискретные модели трехмерных балок, число узловых неизвестных МКЭ которых на несколько порядков меньше числа узловых неизвестных базовых дискретных моделей;

– порождают решения c заданной погрешностью, при этом напряжения определяются в любом компоненте неоднородной структуры балок.

Реализация МКЭ для многосеточных дискретных моделей трехмерных балок требует меньше объема памяти ЭВМ и временных затрат, чем для базовых дискретных моделей. Кроме того, в процедурах построения сложных МнКЭ используются известные алгоритмы МКЭ [1], поэтому эти процедуры удобно реализуются на ЭВМ.

В заключительном разделе приведен пример расчета по МКЭ трехмерной балки волокнистой структуры с использованием сложных МнКЭ и выполнен анализ результатов расчета.

Процедура построения двухсеточных конечных элементов

Основные положения процедуры покажем на примере построения ДвКЭ с неоднородной структурой формы прямоугольного параллелепипеда размерами (рис. 1). Считаем, что между компонентами неоднородной структуры ДвКЭ связи идеальны, а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающих трехмерной задаче теории упругости [7], т.е. во всей области ДвКЭ реализуется трехмерное напряженное состояние. Область ДвКЭ представляем базовым разбиением, состоящим из однородных односеточных КЭ первого порядка формы куба со стороной [1], – общее число КЭ .

На рис. 1 показано базовое разбиение ДвКЭ на КЭ , которое учитывает его микронеоднородную структуру и порождает мелкую узловую сетку размерности с шагом по осям , , . Для рис. 1 имеем . ДвКЭ армирован волокнами сечением , параллельных оси . Сечения волокон закрашены. На мелкой сетке определяем крупную сетку размерности с шагами: по оси , по оси , по оси , причем, , , , где ,, – целые. Узлы сетки отмечены точками, , , . Полную потенциальную энергию базового разбиения ДвКЭ представим в форме [1, 8]

(1)

где – матрица жесткости, – векторы узловых сил и перемещений КЭ базового разбиения ДвКЭ, T – транспонирование.

Рис. 1. Сетки ДвКЭ

С помощью полиномов Лагранжа [8] на крупной сетке определяем функции перемещений ДвКЭ , которые запишем в форме

, , ,(2)

где – значения функций перемещений в узле сетки ; – координаты целочисленной системы координат , введенной для узлов крупной сетки (рис. 1); – базисная функция узла сетки , , , , ,

, , ,(3)

– координаты узла сетки в системе координат (рис. 1).

Введем следующие обозначения: , , , где ;. Тогда выражения (2) принимают вид

, , . (4)

Пусть есть вектор узловых перемещений крупной сетки , т.е. вектор узловых перемещений ДвКЭ . Используя (4), вектор узловых перемещений КЭ выражаем через вектор узловых перемещений ДвКЭ . В результате получим равенство

,(5)

где – прямоугольная матрица,

Подставляя (5) в выражение (1), из условия получаем уравнение , где

, ,(6)

– матрица жесткости и вектор узловых сил ДвКЭ .

Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки ДвКЭ , с помощью формул (5) проецируем на мелкую сетку базового разбиения ДвКЭ. В результате находим узловые перемещения мелкой сетки ДвКЭ , что дает возможность вычислять напряжения в любом КЭ базового разбиения ДвКЭ и, следовательно, можно определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры ДвКЭ , т. е. балки.

Процедура построения сложных МнКЭ

Основные положения процедуры покажем на примере построения сложного МнКЭ с неоднородной структурой формы прямоугольного параллелепипеда (рис. 2). Область МнКЭ представляем ДвКЭ , , – общее число ДвКЭ . При этом ДвКЭ имеют одинаковые геометрические размеры, неоднородную структуру, мелкие и крупные сетки. На рис. 2 сложный МнКЭ (размеры ) состоит из восьми ДвКЭ (размеры ). Границы ДвКЭ отмечены пунктирными линиями, . Базовые разбиения ДвКЭ учитывают неоднородную структуру сложного МнКЭ . Крупные сетки ДвКЭ () образуют сетку , на которой определяем крупную сетку (размерности ) сложного МнКЭ (сетка вложена в сетку ). Узлы сетки отмечены точками, . Функции перемещений , построенные на крупной сетке c помощью полиномов Лагранжа (интерполяционных полиномов) [1, 8], представим в виде

, (7)

где – базисная функция -го узла крупной сетки ; – значения соответственно функций перемещений в-ом узле сетки ; .

Рис. 2. Сложный МнКЭ

Полную потенциальную энергию МнКЭ представляем как сумму полных потенциальных энергий ДвКЭ , , т.е.

.(8)

Обозначим через вектор узловых перемещений крупной сетки сложного МнКЭ . Используя (7), вектор узловых перемещений ДвКЭ выражаем через вектор узловых перемещений крупной сетки . В результате построим равенство

, (9)

где – прямоугольная матрица, .

Подставляя (9) в выражение (8), из условия получаем матричное уравнение , где

,(10)

– матрица жесткости и вектор узловых сил сложного МнКЭ .

Замечание 2. Как показывают расчеты, погрешность решения, построенного по МКЭ для трехмерных балок, для которых заданы геометрические размеры, композитная структура, закрепление и нагружение, с применением сложных МнКЭ определенных размеров, зависит от соотношения шагов узловых сеток , , .

Определение напряжений в сложных МнКЭ

Пусть найдены узловые перемещения для многосеточной дискретной модели балки, т.е. найден вектор узловых перемещений сложного МнКЭ , , где – общее число сложных МнКЭ в дискретной модели балки. Используя формулы (9), находим векторы узловых перемещений ДвКЭ , . С помощью вектора и формул (4) определяем функции перемещений ДвКЭ , . Затем, используя функции перемещений , по известным алгоритмам МКЭ [1, 8] находим функции напряжений для ДвКЭ .

Результаты расчетов

Рассмотрим в декартовой системе координат модельную задачу о деформировании композитной трехмерной балки размерами (рис. 3). При балка жестко закреплена, граница крепления тела показана штриховкой. На верхней поверхности балки в точках с координатами , , действуют вертикальные силы , где , , ; ; .

Рис. 3. Расчетная схема балки

Базовая дискретная модель балки состоит из изотропных однородных КЭ 1-го порядка формы куба со стороной . Многосеточная дискретная модель балки состоит из сложных МнКЭ 2-го порядка с характерными размерами , . При построении сложного МнКЭ используем восемь ДвКЭ 2-го порядка размерами , . Базовое разбиение ДвКЭ состоит из КЭ 1-го порядка формы куба со стороной , которое порождает мелкую сетку с шагом . Крупная сетка ДвКЭ имеет шаг , шаг крупной сетки сложного МнКЭ равен . ДвКЭ и сложные МнКЭ построены соответственно по процедурам п. 1, п. 2 с применением полиномов Лагранжа. Балка армирована непрерывными волокнами (с поперечным сечением ), направленными вдоль оси . Расстояния между волокнами в направлении осей , равно . Модуль Юнга связующего материала балки равен 1, волокон – 10, коэффициент Пуассона равен 0.3.

Анализ результатов расчетов показывает, что максимальное перемещение многосеточной дискретной модели балки отличается от максимального перемещения базовой модели на . Максимальные эквивалентные напряжения многосеточной дискретной модели балки и базовой модели отличаются на .

Базовая дискретная модель балки имеет 166464 узловых неизвестных, половина ширины ленты системы уравнений МКЭ равна 924. Многосеточная дискретная модель балки содержит 3600 узловых неизвестных, ширина половины ленты равна 189, т.е. многосеточная дискретная модель балки занимает в 226 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем базовая.

Литература:

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. – М.: Мир, 1975.
7. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. – М.: Мир, 1982.
8. МатвеевА.Д. Некоторые подходыпроектированияупругих многосеточных конечных элементов // Деп. в ВИНИТИ № 2990-В00. 2000.
9. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ № 3, 2004.
10. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных элементов с неоднродной и микронеоднородной структурой // Известия АлтГУ. – 2014. – 1/1. Серия: Математика и механика. – С. 80–83.
11. Матвеев А.Д. Расчет композитных пластин и балок с учетом их структуры с применением сложных многосеточных конечных элементов // Вестник КрасГАУ. – 2015. – № 9. – С. 100–107.
12. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1982.
13. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. – М.: Мир, 1981.