Анализ маятниковых волн в слоистой среде на основе одномерной модели



Введение

В последнее время наблюдается растущий интерес исследователей в областях геомеханики и геофизики к использованию различных моделей для описания породного массива, а также изучению закономерностей деформирования и разрушения горных пород.

Необходимость учета строения реального горного массива отмечена в работе [1]. В [2] при решении серий задач о волновых процессах в блочных средах учтена концепция М.А. Садовского, согласно которой горный массив представляет собой систему вложенных друг в друга блоков разного масштабного уровня. Блоки связаны друг с другом прослойками. Часто прослойки представлены более слабыми, трещиноватыми породами, что приводит к выделению в сейсмическом отклике на импульсное воздействие низкочастотных волн маятникового типа. Таким образом, наличие блочной структуры приводит к существенному изменению процесса распространения волн в такой среде.

В Институте горного дела СО РАН выполнен большой комплекс теоретических и экспериментальных исследований по изучению волн маятникового типа [3,4]. Как показали эксперименты, отличительными особенностями маятниковых волн являются их относительно большая длина, малая скорость распространения (существенно меньшая, чем скорости волн в материале блока) и относительно слабое затухание в массиве.

Цель настоящей статьи состоит в исследовании особенностей формирования упругих волн в блочных средах на основе математических моделей, учитывающих сложные реологические свойства материала прослоек, и при их импульсном возбуждении проверить справедливость гипотезы о возможности существования волн маятникового типа.

Уравнения одномерных движений слоистой среды

В рамках одномерной модели исследуется специфика распространения упругих волн в блочных средах. Рассматривается условная схема строения горной породы, которая в идеальном случае представляет собой вложенную слоистую структуру с инвариантным отношением масштабов блоков и прослоек. Характерный элемент такой структуры, состоящий из упругих слоев толщины и упругих прослоек толщины , показан на рис. 1.

Рис. 1. Иерархическая слоистая структура горной породы

Для постановки задачи введем характеристики: и , и , и – плотности, скорости звука и упругие податливости материалов слоя и прослойки соответственно. С помощью этих характеристик, можно записать системы уравнений, описывающие поведение материалов в слое и прослойке.

Внутри слоя с номером выполняются одномерные уравнения теории упругости

,(1)

записанные относительно продольной скорости в направлении оси ( меняется от 0 до в пределах каждого слоя) и нормального напряжения . Поведение материала прослойки описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений

,(2)

в которую входят граничные значения введенных выше скоростей и напряжений, левые для -го слоя и правые для -го слоя.

К нашей задаче сформулируем начальные условия: , и граничные условия следующего вида: , , где – заданное внешнее давление.

Термодинамическая согласованность постановки краевой задачи вытекает из закона сохранения энергии

(3)

в соответствии с которым изменение кинетической и потенциальной энергий в слоях и прослойках равна мощности на границе.

Численные результаты расчетов

Для проверки работоспособности разработанных алгоритмов и программ выполнены расчеты плоских продольных волн, вызванных кратковременными и длительными воздействиями на границе слоистой среды с упругими прослойками.

На рис. 2 и рис. 3 приведены зависимости безразмерной скорости частиц от пространственной координаты, отнесенной к толщине слоя , в задаче о действии -образного импульса. Импульс единичной амплитуды действовал на левой границе расчетной области, правая ее граница считалась неподвижной. Рис. 2 соответствует длительности импульса, равной времени прохода упругой волны через один слой, рис. 3 – в два с половиной раза большей длительности. На рис. 2 а) и 3 а) изображены профили скоростей на момент прохождения падающей волны примерно 370 слоев. На рис. 2 б) и 3 б) отраженная волна проходит в обратном направлении примерно 200 слоев.

а)б)

Рис. 2. Распределение скорости за фронтом падающей (а) и отражающей (б) волн, вызванных в слоистой среде воздействием короткого импульса

а) б)

Рис. 3. Распределение скорости за фронтом падающей (а) и отражающей (б) волн, вызванных в слоистой среде воздействием длительного импульса

Представленные результаты демонстрируют качественное отличие волновой картины в слоистых средах по сравнению с однородной средой. Это отличие на начальном этапе заключается в появлении отраженных от прослоек волн – характерных осцилляций за фронтом волны нагруждения по мере ее прохождения через границы раздела. Со временем после многократного переотражения за фронтом головной волны возникает стационарная волна, называемая «маятниковой».

Из сопоставления рис. 2 и 3 видно, что с увеличением длительности импульса амплитуда головной волны увеличивается, возрастая до единицы при дальнейшем увеличении длительности, а амплитуда осцилляций за фронтом убывает и стремится к нулю. Таким образом обнаружить ослабленную микроструктуру слоистой или блочной среды можно только с помощью коротких волн.

В процессе тестирования алгоритмов проводились аналогичные расчеты для упругих прослоек, импеданс которых совпадал с импедансом слоев. При этом плотность материала в прослойках была на порядок ниже плотности материала в слоях, а скорость корректировалась естественным образом, поскольку скорости распространения возмущений в слое и прослойках сильно различаются. В этом случае волна, вызванная импульсным воздействием на границе, проходит через прослойки как в однородной среде в виде уединенного импульса.

Вязкоупругое взаимодействие

Анализ экспериментальных данных по распространению упругих волн в слоистых средах показывает, что прослойки ведут себя неупруго даже при малых амплитудах волн. Более сложный вариант модели, учитывающий естественные диссипативные процессы в прослойках, представлен реологической схемой на рис. 4.

Рис. 4. Модель Максвелла

Вязкоупругое взаимодействие по модели Максвелла, согласно которой деформация прослойки складывается из упругой и вязкой составляющей, описывается системой (2) после замены второго уравнения более общим уравнением

(4)

где – коэффициент вязкости материала прослойки.

В этом случае, умножив первое уравнение (2) на , а уравнение (4) на , можно получить уравнение баланса энергии (3), в левой части которого появляется диссипативное слагаемое , пропорциональное квадрату напряжения в прослойке.

Численное решение задачи строилось на основе схемы Иванова [7].Схема в пределах слоя не обладает искусственной диссипацией энергии. Ее идея состоит в том, чтобы закон сохранения энергии выполнялся на дискретном уровне.

На рис. 5 схематически показана сеточно-характеристическая интерпретация применяемого метода.

(5)

где – импеданс.

Рис. 5. Сеточно-характеристическая интерпретация в схеме Иванова

Из основной системы уравнений записываем уравнения на характеристики

(6)

где и – заданные величины.

Анализ результатов расчетов с вязкоупругими прослойками показал, что при прохождении волны через прослойку за фронтом основной волны возникают отраженные волны, которые представляют большой интерес для исследования.

На рис. 6 показан один из примеров осциллограммы, на которой четко видны фронты головной и маятниковой волн.

Рис. 6. Осциллограмма

С помощью преобразования Фурье, применяя частотный анализ, находим низкую частоту данной волны (рис. 7).

Рис. 7. Низкая частота маятниковой волны

Полученные результаты подтверждают гипотезу существования низкочастотных маятниковых волн.

Методические расчеты

Большая серия методических расчетов позволила увидеть некоторые особенности распространения низкочастотных маятниковых волн. На рис. 8 представлена зависимость частоты волны от толщины прослойки при различных параметрах блоков. В данном случае рассматривались блоки с толщиной слоя 1 см, 3 см и 5 см соответственно. Как видно из рис. 8, чем больше толщина прослойки, тем меньше частота маятниковой волны. Также частота волны зависит и от толщины самого блока. Чем больше сам блок, тем меньше частота волны.

Рис. 8. Зависимость частоты волны от толщины прослойки

В следующих расчетах проверялась гипотеза о том, что частота волны зависит от импеданса прослойки. В данном численном эксперименте материал в слое напоминает горную породу, в прослойках материал приближен к резине. Для прослойки были взяты следующие параметры: , скорость звука . Эксперимент состоял в том, что для начала нашли частоты волны для данных параметров прослойки. На рис. 9 эти результаты соответствуют I линии. Затем провели два расчета таким образом, что импеданс в прослойке не менялся, а параметры скорости и плотности были следующие: кг/м³, с=4500 м/с и кг/м³, с=500 м/с – II и III линии соответственно. Из графика, полученного из расчетов для этих параметров скоростей и плотностей, можно констатировать, что частота волны зависит от скорости звука в выбранном материале. Чем меньше скорость звука в материале прослойки, тем меньше частота волны.

Рис. 9. Зависимость частоты волны от толщины прослойки

для разных импедансов прослойки

Доказательством этого факта, также может служить следующий численный эксперимент, представленный на рис. 10, где проводились расчеты для разных скоростей звука в материале.

Рис. 10. Зависимость частоты от толщины прослойки для разных скоростей звука

Заключение

Разработаны вычислительные алгоритмы для исследования распространения волн напряжений и деформаций в слоистых средах, состоящих из большого количества деформируемых слоев с податливыми прослойками. На основе реологического метода построены модели деформирования материала прослоек различно уровня сложности. Приведены результаты расчетов, демонстрирующие особенности распространения плоских волн в слоистых средах.

Литература:

1. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // ДАН СССР. – 1979. – Т. 247, № 4. – С. 829–833.

2. Александрова Н.И., Черников А.Г., Шер Е.Н. Экспериментальная проверка одномерной расчетной модели распространения волн в блочной среде // Физ.-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. – 2005. – № 3. – С. 46–55.
3. Александрова Н.И. О распространении упругих волн в блочной среде при импульсном нагружении // Физ.-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. – 2003. – № 6. – С. 38–47.
4. Александрова Н.И., Шер Е.Н. Моделирование процесса распространения волн в блочных средах // Физ.-техн. проблемы разработки полезных ископаемых. – 2004. – № 6. – С. 49–57.
5. Варыгина М.П., Похабова М.А., Садовская О.В., Садовский В.М. Вычислительные алгоритмы для анализа упругих волн в блочных средах с тонкими прослойками // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. – 2011. – Т. 12, № 2. – С. 190–197.
6. Sadovskaya O.V., Sadovskii V.M., Pokhabova M.A. Numerical modeling of a block medium as an orthotropic Cosserat continuum // Lecture Notes in Computer Science.– 2015. – Vol. 9045. – P. 340–347.
7. Иванов Г.В., Волчков Ю.М., Богульский И.О., Анисимов С.А., Кургузов В.Д. Численное решение динамических задач упругопластического деформирования твердых тел. – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2002. – 352 с.