В данной статье рассмотрены методы статистического моделирования применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками.
Ключевые слова: статистическое моделирование, случайные величины, стохастические процессы.
Существуют два типа алгоритмов, при помощи которых на ЭВМ могут вырабатываться дискретные реализации случайного процесса U(t). Алгоритмы первого типа предусматривают вычисление дискретной последовательности значений 
, т. е. значений реализаций процесса U(t) в совокупности заранее выбранных моментов времени 
. Шаг дискретизации обычно принимается постоянным: ∆t = const, тогда из стационарности процесса U(t) следует стационарность последовательности {
}.
В основе алгоритмов этого типа положено линейное преобразование стационарной последовательности независимых гауссовских чисел ζ с параметрами <ζ> = 0, <
> = 1 в последовательность {} коррелированную по заданному закону
(1)
где K(τ) корреляционная функция моделируемого процесса. При этом оператор соответствующего линейного преобразования записывается или в виде скользящего суммирования с весом 
или в виде рекуррентного уравнения типа
Вид корреляционной функции воспроизводимого при помощи соотношений (2), (3) случайного процесса определяет набор значений коэффициентов 
.
Ко второму типу относятся алгоритмы, основанные на представлении моделируемых процессов в виде разложений
где 
некоторая система детерминистических функций; U случайный вектор. При этом моделирование случайного процесса сводится к воспроизведению реализаций векторов U и последующему вычислению значений Um = U(tm) по формуле (4).
Целью статистического моделирования случайных полей является воспроизведение совокупности реализаций значений поля U(x) в дискретных точках 
[x = (
), n=1,…,N]. В дальнейшем не будем делать формального различия между пространственными координатами и временем и ограничимся случаем однородных случайных полей. Алгоритмы моделирования случайных полей, как правило, являются обобщением соответствующих алгоритмов моделирования случайных процессов на случай m переменных.
Моделирование гауссовского белого шума.
При статистическом моделировании случайных процессов и полей возникает необходимость в моделировании стационарного дельта-коррелированного гауссовского процесса ζ(t) (белого шума интенсивности s) или его многомерного аналога ζ(x). На ЭВМ можно воспроизводить только усеченный белый шум ζ(f) с конечной дисперсией. Параметр 
при моделировании подбирается таким образом, чтобы последовательность ζm = ζ(m∆t) была некоррелированной. Это условие будет выполняться, если выбрать 
∆t где ∆t шаг дискретизации. Моделирующий алгоритм при этом имеет вид [1]:
Метод скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.
Алгоритм (2) позволяет воспроизводить на ЭВМ последовательности {Um} сколь угодно большой длины, которые с самого начала обладают свойством стационарности. Весовые коэффициенты могут быть вычислены различными способами. Эффективным является способ, основанный на разложении в ряд Фурье спектральной плотности моделируемого процесса. Преобразование (2) при этом берется в виде
а коэффициенты
Шаг дискретизации ∆t и число членов ряда P выбираются из условия
где ε — допустимая погрешность; 
Моделирование стационарных случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью.
Для моделирования случайных процессов с дробно-рациональной спектральной плотностью вида
где B(i
) и С(i) полиномы относительно (i) порядка r и p соответственно (r < p) эффективным является алгоритм типа (3). Спектральная плотность последовательности
может быть приведена к виду
Где
Коэффициенты 
используются в рекуррентных уравнениях (3). Соотношения (3) позволяют получать дискретные реализации случайных процессов сколь угодно большой длины. Начальные условия в (3) при вычислении первых значений последовательности {Um} можно выбрать произвольными (например, нулевыми). Вследствие этого возникает переходный процесс, в пределах которого начальный участок вырабатываемой реализации будет искажен. Величина этого участка реализации зависит от корреляционных свойств моделируемого процесса [2].
Моделирование случайных процессов с использованием канонического разложения.
Для стационарных гауссовских случайных процессов справедливо разложение:
где U(ω) и V(ω) — независимые и стохастически ортогональные случайные функции. Принимая, что S(ω) = 0 при |ω| > и заменяя интеграл конечной суммой, получим:
Здесь 
гауссовские случайные величины со следующими вероятностными характеристиками:
Число членов ряда (14) выбирается из условия
Наряду с (14) можно использовать разложение
Здесь 
случайные величины с совместной плотностью вероятности
.
Реализации, получаемые при помощи выражений (14), (15), являются периодическими (T = 2π/∆ω) следовательно, свойством эргодичности не обладают. Общее достоинство разложений (14) и (15) — простота алгоритма моделирования, а недостаток — необходимость учитывать большое число членов ряда.
Разложения (14) и (15) удобно использовать для получения дискретных реализаций случайных процессов в неравноотстоящих точках [3].
Другие методы моделирования случайных процессов.
Во многих случаях эффективным оказывается метод моделирования, основанный на использовании разложения [4]:
Здесь 
случайные величины с совместной плотностью вероятности
Согласно центральной предельной теореме распределение реализаций (16) при 
стремится к гауссовскому. Кроме того, при реализации будут асимптотически эргодическими по отношению к математическому ожиданию и корреляционной функции.
Наряду с (16) можно использовать разложение
Здесь 
случайные величины с совместной плотностью вероятности
Кроме того, 
Закон распределения величин 
можно принять равномерным на интервале (0,1), при этом их реализации моделируются при помощи соотношений
Здесь 
— случайные числа, равномерно распределенные на интервале (0,1), которые вырабатываются на ЭВМ с помощью программных датчиков. Моделирование реализаций выполняют одним из методов моделирования случайных величин с заданным законом распределения.
Заключение
В данной статье были рассмотрены методы статистического моделирования применительно к моделированию на ЭВМ случайных процессов, заключающихся в решении задачи воспроизведения дискретных последовательностей, имитирующих непрерывные случайные функции с заданными вероятностными характеристиками.
Литература:
- Быков В. В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М., «Советское радио», 1971, 328с.
- Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах. М., «Наука», 1965. 227с.
3. Шведов А. С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Изд. дом, ГУ-ВШЭ, 2005. — 254с
- Shinozuka M. Simulation of multivariate and multidimensional random processes. — “Journ. Acoust. Soc. Am.”, 1971, vol. 49, N 1, p. 556–583.
