Слабо сепарабельные пространства

Напомним, что семейство открытых подмножеств топологического пространства X называется базой этого пространства, если во всяком непустом открытом множестве U пространства X содержится некоторое непустое множество V, принадлежащее семейству .

Семейство подмножеств топологического пространства X называется сетью этого пространства, если во всяком непустом открытом множестве U пространства X содержится некоторое непустое множество множества .

Определение 1 [В. И. Пономарев]. Топологическое пространство X называется слабо сепарабельным, если существует база G, распадающаяся на счетное число центрированных систем открытых множеств, т. е. , где центрированная система открытых множеств любого .

Утверждение 1. Топологическое пространство X слабо сепарабельно тогда и только тогда, когда в Xсуществует сеть, являющаяся объединением счетного числа центрированных семейств множеств.

Доказательство. Необходимость вытекает из того, что всякая

база является сетью пространства X.

Достаточность. Пусть .сеть и каждое семейство центрировано. Положим открыто в и содержит некоторое Тогда очевидно, что семейство центрировано. Покажем, чтоесть база в X. Пусть непустое открытое множество в X. Тогда существует такое , что . Следовательно, по нашему определению . Таким образом, мы показали, что состоит из всех непустых открытых множеств в X. Утверждение 7.1 доказано.

Поскольку, одноточечные множества всюду плотного подмножества топологического пространства является его сетью, из утверждения 7.1 вытекает

Утверждение 2. Всякое сепарабельное пространство слабо сепарабельно.

Утверждение 3. Всякое слабо сепарабельное пространство удовлетворят условию Суслина.

Доказательство. Пусть X — слабо сепарабельное пространство иего база, распадающаяся в сумму счетного числа центрированных систем . Возьмем произвольную дизъюнктную систему непустых открытых подмножеств пространства X. Определим отображениеφ:B следующим образом. Поскольку G- есть база пространства X для данного существует такое множество

A, что .Положим где (если существует несколько , для некоторых,то выберем одно из них). Таким образом, отображение определено. Оно является вложением. В самом деле, пусть , , . Тогда, в силу дизъюнктности системы имеем . Значит, в силу центрированности семейств , имеем , откуда . Итак, вкладывает множество В в счетное множество. Следовательно, всякая дизъюнктная система непустых открытых подмножеств пространства X счетна. Утверждение 7.3 доказано.

Утверждение 4. Для метрических пространств X следующие условия эквивалентны:

а) X — слабо сепарабельное пространство;

б) X — сепарабельное пространство.

Доказательство. Пусть метрическое пространство X слабо сепарабельно. В этом случае в силу утверждения 7.3 пространство X удовлетворяет условию Суслина. Тогда в силу следующей задачи N: 214 гл.11 работы [2]:

Метрическое пространство X сепарабельно в том и только в том случае, когда оно удовлетворяет условию Суслина. Получаем, что пространство X сепарабельно. Импликация вытекает из утверждения 2. Утверждение 4 доказано.

Утверждение 5. Пусть всюду плотное подмножество в топологическом -пространстве , тогда .

Литература:

1. Radul T. N. On the funtor of order-preserving functionals.//Comment.Math.Unif.Carol. 1998.V,39.No.3.P.609–615.
2. Жиемуратов Р. Е. Топологические и категорные свойства пространства нелинейных -гладких функционалов. Канд. Дисс. Ташкент, ИМИТ, 2010, стр.69.
3. Бешимов Р. Б. О слабой плотности топологических пространств // ДАН РУз. — 2000.–№ 11. — С. 10–13.