Предположим, что во множестве действительных чисел функция 
имеет локально суммируемые производные порядка 
, а также для интервала 
интеграл 
ограничен. Положим, что функция 
является периодической.
В пространстве 
рассмотрим интерполяционную формулу вида
.(1)
Здесь 
и параметры 
соответственно называются узлами и коэффициентами интерполяционной формулы (1).
Разность 
называется погрешностью интерполяционной формулы (1). Значение этой погрешности в некоторой точке 
является линейным функционалом на функциях 
, т. е.
(2)
где 
— дельта-функция Дирака, 
; здесь 
принимает все целые значения и
(3)
является функционалом погрешности интерполяционной формулы (1) и принадлежит пространству 
.
Пространство
состоит из всех периодических функционалов (3), которые ортогональны к единице. На основании неравенства Коши-Шварца погрешность (2) формулы (1) оценивается с помощью нормы функционала погрешности (3). Следовательно, оценка погрешности интерполяционной формулы (1) на функциях пространства приводится к нахождению нормы функционала погрешности 
в сопряженном пространстве .
Таким образом, отсюда мы получаем первую задачу.
Задача 1. Найти норму функционала погрешности 
интерполяционной формулы (1) в пространстве .
В этой задаче для экстремальной функции имеет место следующая
Теорема 1. Явное выражение для экстремальной функции 
функционала погрешности (3) определяется формулой
(4)
где 
является полиномом Бернулли, 
– константа.
Доказательство. Используем формулы преобразования Фурье, данный в [17]
Свертка двух функций определяется формулой
Применяя к обеим частям равенства (4) преобразование Фурье и используя известные формулы (см. [17])
получаем
(5)
Равенства (5) равна нулю в начале координат. Следовательно, обе части уравнения (5) делятся на 
.
Функция 
определяется из (5) до выражения
Таким образом, из (5) имеем
Отсюда, с учетом
и 
получаем
Отсюда, используя определение полинома Бернулли 
, получим (4).
Теорема 1 доказана.
Литература:
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. -М.: Наука, 1974. -808 с.
- Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.
