В области 
рассмотрим следующее уравнение:
(1)
через 
мы обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка:
.
Здесь 
, 
, 
, 
, 
— заданные функции, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) 
и 
.
2) 
и 
.
3) 
.
4) 
.
— пространство непрерывных функций, 
— замыкание 
. Область 
разделим на три части:
Здесь 
,
,
- граница области 
.
— внутренняя нормаль, проведенной к 
.
Определим, к какому типу принадлежит (1) уравнение в области . Так как
,
где 
, 
. Отсюда 
.
По классификации уравнений частного производного второго порядка уравнения (1) принадлежит к уравнениям смешанного типа в области , т. е.
A) Если 
, то 
.
Если 
, , то .
Отсюда, в области
уравнение (1) параболического типа.
B) В области 
, тогда уравнение (1) гиперболического типа.
C) В области 
, тогда уравнение (1) эллиптического типа.
Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу:
Краевая задача: Найти функцию 
, удовлетворяющую в области уравнению (1), а при 
граничному условию:
,(2)
пространство функций, принадлежащих в класс 
и удовлетворяющих условие (2).
Через 
и 
мы обозначим объединение следующих норм в пространстве 
:
.
Лемма. Пусть существуют такие постоянные 
, 
и 
, что для коэффициентов (1) уравнения выполнялись следующие неравенства:
,
Тогда найдутся постоянные 
такие, что для 
выполняется следующее неравенство:
.(3).
Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем). Для доказательства устойчивости разностной модели, мы используем априорную оценку (3).
В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для доказательства устойчивости разностной модели, построенной для этой краевой задачи.
Литература:
- Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем. Новосибирск 1983г.
- Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. –М.Изд-во АН СССР, 1959.-164с.
- Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. — Новосибирск: НГУ, 1983–84с.
- Рахмонов Х. О. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа в пространстве. — Новосибирск, 1985.-22с. — (препринт. АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т математики; № 12
- Алоев Р. Д., Рахмонов Х. О., Шарипова Ш. Исследование разностной модели краевой задачи для уравнения смешанного типа. «Оптимизация численных методов» Тезисы докладов международной научной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С. Л. Соболев. Уфа ИМВЦ УНЦ РАН 1998г, 4–5-с.
- Меражова Ш. Численное решения первой и второй краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа. Материалы конференции, посвященные юбилею В. И. Романовского, Ташкент, 2004, 81–84-с.
