В области рассмотрим следующее уравнение:
(1)
через мы обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка:
.
Здесь , , , , — заданные функции, которые удовлетворяют следующим условиям:
1) и .
2) и .
3) .
4) .
— пространство непрерывных функций, — замыкание . Область разделим на три части:
Здесь ,
,
- граница области .
— внутренняя нормаль, проведенной к .
Определим, к какому типу принадлежит (1) уравнение в области . Так как
,
где , . Отсюда .
По классификации уравнений частного производного второго порядка уравнения (1) принадлежит к уравнениям смешанного типа в области , т. е.
A) Если , то .
Если , , то .
Отсюда, в области уравнение (1) параболического типа.
B) В области , тогда уравнение (1) гиперболического типа.
C) В области , тогда уравнение (1) эллиптического типа.
Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу:
Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнению (1), а при граничному условию:
,(2)
пространство функций, принадлежащих в класс и удовлетворяющих условие (2).
Через и мы обозначим объединение следующих норм в пространстве :
.
Лемма. Пусть существуют такие постоянные , и , что для коэффициентов (1) уравнения выполнялись следующие неравенства:
,
Тогда найдутся постоянные такие, что для выполняется следующее неравенство:
.(3).
Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем). Для доказательства устойчивости разностной модели, мы используем априорную оценку (3).
В этой статье рассматривается краевая задача для уравнения смешанного типа и приводится лемма для решения задачи, которая далее используется для доказательства устойчивости разностной модели, построенной для этой краевой задачи.
Литература:
- Алаев Р. Д. Метод диссипативных интегралов энергии для разностных схем. Новосибирск 1983г.
- Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. –М.Изд-во АН СССР, 1959.-164с.
- Врагов В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. — Новосибирск: НГУ, 1983–84с.
- Рахмонов Х. О. О первой краевой задаче для одного уравнения смешанного типа в пространстве. — Новосибирск, 1985.-22с. — (препринт. АН СССР. Сиб. Отд-ние. Ин-т математики; № 12
- Алоев Р. Д., Рахмонов Х. О., Шарипова Ш. Исследование разностной модели краевой задачи для уравнения смешанного типа. «Оптимизация численных методов» Тезисы докладов международной научной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С. Л. Соболев. Уфа ИМВЦ УНЦ РАН 1998г, 4–5-с.
- Меражова Ш. Численное решения первой и второй краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа. Материалы конференции, посвященные юбилею В. И. Романовского, Ташкент, 2004, 81–84-с.