В данной работе проводится анализ математической модели взаимодействия агентов коррупционного процесса в условиях неполной информации. Описан алгоритм нахождения нормальной формы игры с неполной информацией и оптимальных стратегий участников. Найдены средние ожидаемые выигрыши участников коррупционной сделки в конечно повторяющейся игре с неполной информацией. Анализ модели проведен с помощью инструментов теории игр с неполной информацией.
Ключевые слова: коррупционная сделка, игра с неполной информацией, средний ожидаемый выигрыш
Исследования в области описания коррупционных процессов с помощью построения математических моделей возникли в 70х годах 20ого века [3]. В работе рассматривается математическая модель взаимодействия участников коррупционной сделки в условиях асимметрии информации. Асимметрия информации означает, что один из участников обладает «большей» информацией или имеет доступ к ней в то время, как остальные участники обладают «меньшей» информацией или не обладают ей вовсе.
Постановка задачи
Рассматривается процесс заключения коррупционной сделки между агентами в условиях неполной информации.
Пусть:
— множество агентов, участвующих в коррупционной сделке.
— множество коррупционных эпизодов, возникающих в следствии асимметрии информации.
— множество стратегий 
- ого агента в коррупционном эпизоде 
.
— функция выигрыша - ого агента в коррупционном эпизоде .
Формализация модели
Рассматривается модель, в которой взаимодействуют два агента: коррумпированный Чиновник и Клиент. В процессе этого взаимодействия, Чиновник и Клиент заключают коррумпированную сделку, следуя которой Клиент платит Чиновнику сумму в определенном размере. Чиновник также заинтересован в получении взятки.
Следуя данной модели, Чиновник стремится максимизировать размер взятки, а Клиент стремится минимизировать размер предлагаемой взятки. Процесс заключения сделки между Чиновником и Клиентом проходит одним из двух способов: 
или 
. Каждый участник решает, каким именно способом он хочет провести сделку. Пусть буква «» означает, что сделка проводится первым способом, а буква «», что сделка проводится вторым способом. Если агенты решают провести сделку разными способами, то коррупционная сделка не совершается.
Неопределенность ситуации заключается в том, что размер взятки зависит от предпочтений Чиновника. Пусть Чиновник имеет два типа предпочтений 
. Пусть в роли коррупционных эпизодов выступают тип предпочтений Чиновника.
Рассмотрим два коррупционных эпизода 
и 
. В коррупционном эпизоде предпочтения Чиновника принадлежат к первому типу, а в принадлежат ко второму типу. Пусть тип предпочтений Чиновника принадлежит к первому типу с вероятностью равной 
.
Предполагается, что Клиент не осведомлен о предпочтениях Чиновника. Коррупционные эпизоды и представлены в виде игры в нормальной форме [4]. Числа в ячейках матрицы обозначают размер взятки, которую Клиент передаст Чиновнику (Таблица 1.).
Таблица 1
|
Клиент |
|
|||
|
|
|
|||
|
Чиновник |
|
3 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
||
|
Клиент |
|
|||
|
|
|
|||
|
Чиновник |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
2 |
||
Представим коррупционные эпизоды и в развернутой форме в виде игры 
, где левая ветвь графа описывает коррупционный эпизод , а правая ветвь графа коррупционный эпизод (Рисунок 1.)
Рис. 1.
Оптимальные стратегии чиновника при совершении одной сделки
Значение игры
и обозначены за 
и 
. Значение 
и . Таким образом, Чиновник гарантированно получает взятку размером 0, а Клиент гарантированно платит не более чем 0.
Рассмотрим нормальную форму игры (Таблица 2.), в которой Чиновник имеет 4 стратегии: {
, 
, 
, 
}, в которых, например (), означает что Чиновник в коррупционном эпизоде выбирает стратегию , а в коррупционном эпизоде стратегию . [1] Клиент имеет только 2 стратегии {, }. В ячейках матрицы обозначены ожидаемые выигрыши Чиновника:
Пусть 
Таблица 2
|
Клиент |
|||
|
Чиновник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вторая строка в матрице игры (Таблица 2.) доминирует первую, третью и четвертую. Так как 
, то ожидаемый выигрыш Чиновника(значение игры) в игре обозначим за 
. Стратегия 
является оптимальной. [2]
На Рисунке 2. представлены оптимальные стратегии Чиновника и Клиента. Пунктир на Рисунке 2. означает, что Клиент не знает предпочтений Чиновника.
Рис. 2.
Стрелки на графе показывают оптимальные стратегии Чиновника и Клиента. Обозначим за 
— выигрыш Чиновника, если оба участника следуют оптимальным стратегиям в коррупционном эпизоде , а за 
— выигрыш Чиновника, если оба участника следуют оптимальным стратегиям в коррупционном эпизоде .
;
Напомним, что 
.
Оптимальные стратегии чиновника и клиента при совершении n- сделок
Рассмотрим коррупционный эпизод, в котором Чиновник и Клиент должны заключить несколько сделок в один день. Таким образом, коррупционный эпизод или будет повторяться 
— раз, где — количество сделок, совершенных в определенный день. Чиновник после совершения каждой сделки, Клиент будет точно знать какую стратегию выбрал Чиновник и объем взятки.
Рассмотрим случай, в котором Чиновник будет пользоваться оптимальными стратегиями, предписанными ему в , а именно, выбирать стратегию , если перед ним коррупционный эпизод и стратегию , если перед ним коррупционный эпизод . Если — номер сделки и если 
, тогда представляется в развернутой форме как (Рисунок 3.):
Рис. 3.
Клиенту известны стратегии и выигрыши Чиновника. Таким образом, если Чиновник при совершении первой сделки пользуется оптимальными стратегиями, то Клиент немедленно узнает предпочтения Чиновника.
Рассмотрим совершение второй сделки 
, в которой Клиент точно знает, какой перед ним коррупционный эпизод или (Рисунок 4.):
Рис. 4.
Ожидаемый выигрыш Чиновника в любой из двух ситуаций будет равен нулю.
Пусть 
— средний ожидаемый выигрыш Чиновника при совершении сделок в количестве , тогда:
(1)
где:
– - количество совершаемых сделок;
– 
- ожидаемый выигрыш Чиновника при совершении k-ой сделки, если Чиновник использовал стратегию 
, а Клиент стратегию 
;
Таким образом, средний ожидаемый выигрыш Чиновника стремится к значению 
или 
.
Пусть рассматривается ситуация, в которой Чиновник игнорирует свои предпочтения в размере взятки. Выигрыши и стратегии Чиновника и Клиента остаются прежними и этот коррупционный эпизод обозначен как
(Рисунок 5.):
Рис. 5. Игра
Нормальная форма (Таблица 3.), в которой Чиновник игнорирует свои предпочтения:
Таблица 3
|
Клиент |
|||
|
Чиновник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4
|
Клиент |
|||
|
Чиновник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, Чиновник будет выбирать стратегию с вероятностью 
, а стратегию с вероятностью 
. Клиент будет следовать тем же смешанным стратегиям (Таблица 4.). Обозначим за 
ожидаемый выигрыш Чиновника (значение игры ) в , тогда 
.
Обозначим за 
ожидаемый выигрыш Чиновника в игре , а за 
— ожидаемый выигрыш Чиновника в ситуации .
– Пусть 
–матрица выигрышей Чиновника в :
– Пусть 
–матрица выигрышей Чиновника в :
– Пусть 
- вектор смешанных стратегий Чиновника, а
- вектор смешанных стратегий Клиента.
Тогда, 
; 
;
; 
.
Рассмотрим случай, в котором Чиновник будет пользоваться стратегиями, описанными выше, в коррупционном эпизоде 
, тогда его средний ожидаемый выигрыш будет 
(
). Так как -целое число, то при 
.
Напомним, что 
. Получаем 
, а 
.
Вывод: Если Чиновник игнорирует свои предпочтения в размере взятки, то при заключении коррумпированных сделок в количестве равном , его средняя ожидаемая прибыль от этих сделок, будет выше чем средняя ожидаемая прибыль, если бы Чиновник следовал своим предпочтениям.
Проверка секретности информации, доступной чиновнику, при совершении n сделок
Проверим, что Чиновник, пользуясь стратегиями, описанными в
, гарантирует себе, что его предпочтения в размере взятки не станут известны Клиенту при совершении сделок в количестве n.
Рассмотрим коррупционный эпизод и со стороны Клиента. Пусть Клиент после совершения первой сделки, оценивает вероятность возникновения коррупционного эпизода и .
Клиент знает, что Чиновник будет выбирать стратегию с вероятностью , а стратегию с вероятностью . Клиент оценивает вероятность возникновениякоррупционного эпизода и , пользуясь формулами условной вероятности.
Рассмотрим стратегии Чиновника при совершении -ой сделки (Рисунок 6.). Пусть 
- вероятность, с которой Чиновник выбирает стратегию в коррупционном эпизоде , а 
- вероятность, с которой Чиновник выбирает стратегию в коррупционном эпизоде . 
- вероятность появления коррупционного эпизода .(
)
Рис. 6.
Рассмотрим первую коррупционную сделку, то есть 
(Рисунок 7.).
;
;
Рис. 7.
Таким образом, если после каждой коррупционной сделки, Клиент оценивает вероятность появления коррупционного эпизода
и , то значения этой вероятности не будут отличаться от 1/3 и 2/3.
Вывод
В работе проведен анализ математической модели взаимодействия коррумпированного чиновника и клиента в условиях асимметрии информации. В роли информации в данной модели выступают вкусы и предпочтения одного из игроков. Рассмотрен конкретный пример и сделан вывод, что в конечно повторяющейся игре с неполной информацией игрок, обладающий информацией, должен действовать, не опираясь на свои предпочтения.
Литература:
- Guillermo Ordonez Notes on Bayesian Games URL: http://www.sas.upenn.edu/~ordonez/pdfs/ECON %20201/NoteBAYES.pdf
- Robert J. Aumann Repeated games with incomplete information Robert/J. Aumann and Michael B. Mashler with collaboration of Richard B. Strearns — MIT Press. 1995. — 323 p.
- Зенюк Д. А., Малинецкий Г. Г., Фаллер Д. С. Социальная модель коррупции в иерархических структурах // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2013. № 87. 27 с. URL: http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2013–87
- Петросян, Л. А. Теория игр / Л. А. Петросян, Н. А. Зенкевич,
- Е. А. Семина. — М.: Высшая школа, 1998. — 304 с.
