Генерация крупномасштабных магнитных полей ивихревых структур во вращающейся электропроводящей самогравитирующей среде смелкомасштабной неспиральной силой
Копп Михаил Иосифович, кандидат физико-математических наук
В настоящей работе найдена новая крупномасштабная неустойчивость во вращающейся стратифицированной самогравитирующей электропроводящей среде с мелкомасштабной турбулентностью. Турбулентность возбуждается внешней мелкомасштабной силой с нулевой спиральностью и малым числом Рейнольдса. Теория построена на основе метода многомасштабных асимптотических разложений. В пятом порядке теории возмущений получены основные уравнения, описывающие неустойчивости типа гидродинамического и магнитогидродинамического α-эффектов во вращающейся турбулентной среде. Получены критерии возникновения двух α-эффектов при наличии мелкомасштабных пульсаций магнитного поля с нулевой спиральностью. Численные оценки характерных масштабов крупномасштабной неустойчивости приведены на примере галактической плазмы.
Ключевые слова: сила Кориолиса, многомасштабные асимптотические разложения, стратифицированная самогравитирующая электропроводящая среда, неспиральная мелкомасштабная турбулентность, α-эффект, спиральные галактики
In this paper we found a new large-scale instability in the rotating self-gravitating stratified electrically conductive medium to small-scale turbulence. Turbulence excited small-scale external force with zero helicity and low Reynolds number. The theory is based on the method of multi-scale asymptotic expansions. In the fifth-order perturbation theory, the basic equations that describe the type of hydrodynamic and magnetohydrodynamic α-effects in the rotating turbulent medium. Criteria for the occurrence of the two α-effects in the presence of small-scale magnetic field fluctuations with zero helicity are obtained. Numerical evaluation of the characteristic scales instability shown by the example of the galactic plasma.
Keywords: сoriolis force, multiscale asymptotic expansions, self-gravitating stratified conductive medium, nonspiral small-scale turbulence, α-effect, spiral galaxies
Открытое в работах [1–6] явление генерации крупномасштабных магнитных полей однородной изотропной, но зеркально-несимметричной (спиральной) турбулентностью получило название α-эффекта. На основе этого эффекта были построены различные теории, объясняющие происхождение магнитных полей у различных астрофизических объектов: планет и Солнца [1–5], галактик [6] и т. п. В последнем обзоре по этой теме [7] широко обсуждаются лабораторные динамо-эксперименты. Развитие вычислительной физики [7] также способствовало применению α-теорий к различным прикладным задачам, что в конечном счете привело к определению нового самостоятельного раздела физики — теории динамо. В современном понятии теория динамо включает в себя и так называемое вихревое динамо, которое описывает эффект генерации крупномасштабных вихрей в турбулентных средах [8]. Теория вихревого динамо началась с работы [9], где была высказана гипотеза о том, что спиральная турбулентность способна генерировать крупные вихри. Эта гипотеза основывалась на сходстве уравнений индукции магнитного поля и вихря
в гидродинамике. Однако в работе [10] было показано отсутствие эффекта генерации крупномасштабных вихрей однородной изотропной спиральной турбулентностью в несжимаемой жидкости. Причина отрицательного эффекта заключается в определенной симметрии тензора напряжений Рейнольдса в осредненном уравнении Навье-Стокса. Несмотря на запрет этой теоремы антидинамо, первый пример вихревого динамо в спиральной турбулентности для сжимаемой жидкости был найден в работе [11]. Там впервые было получено линеаризованное уравнение для вихря
, которое по виду похоже на уравнение индукции для среднего поля
. Эффект генерации крупномасштабных вихрей связан с появлением члена
, где
выражается через спиральность турбулентности. Этот эффект получил название гидродинамического альфа-эффекта. Дальнейшее направление развития теории вихревого динамо было основано на поиске дополнительных факторов, нарушающих симметрию уравнений. Этими факторами, кроме сжимаемости среды, являются например, неоднородный поток [12], градиент температуры в поле тяжести [13], частицы примеси и пузырьки воздуха в жидкости [12]. На начальном этапе развития теории динамо, замкнутые уравнения для средних (крупномасштабных) полей были получены в основном при помощи метода электродинамики среднего поля (или теории корреляционного сглаживания второго порядка) [5] и функциональной техники [14, 15]. Оба эти метода в применении к задачам теории динамо имеют главный недостаток, заключающийся в трудности определения из всей иерархии возмущений главного порядка при котором возникает неустойчивость. В связи с этим, в работе [16] была рассмотрена крупномасштабная неустойчивость в несжимаемой жидкости методом асимптотических многомасштабных разложений. В качестве малого параметра для асимптотического метода многомасштабных разложений используется число Рейнольдса
для мелкомасштабных пульсаций скорости
, вызванных мелкомасштабной силой. Модель внешней мелкомасштабной силы была выбрана с нарушением четности (при нулевой спиральности). Эффект генерации крупномасштабных возмущений такой силой получил название анизотропного кинетического альфа-эффекта или АКА-эффекта [16]. Отметим, что нарушение четности является наиболее общим понятием, чем спиральность, хотя именно спиральность
является самым распространенным механизмом нарушения четности гидродинамических течений. В дальнейшем, применяя метод многомасштабных асимптотических разложений были разработаны линейные и нелинейные теории вихревого динамо для сжимаемых сред [17, 18], конвективных сред со спиральной внешней силой [19–21], для сред с учетом эффектов вращения [22–25]. В упомянутых выше работах спиральная турбулентность считалась заданной. Генерацию спиральной турбулентности в природных условиях обычно связывают с влиянием силы Кориолиса (или силы Лоренца) на турбулентное движение среды [1, 26], которое изначально было однородным изотропным и зеркально-симметричным (неспиральным). В связи с этим возникает вопрос о возможности генерации крупномасштабных полей (вихревых и магнитных) во вращающихся средах под действием мелкомасштабной силы с нулевой спиральностью:
.
Используя метод многих масштабов, в настоящей работе рассмотрена генерация крупномасштабных полей (магнитных и вихревых) в стратифицированной вращающейся электропроводящей среде с учетом ее самогравитации. Данная работа является обобщением работы [25] на случай электропроводящей среды. Полученные здесь инкременты неустойчивости соответствуют гидродинамическому и магнитогидродинамическому альфа-эффектам, которые возникают в результате совместного действия неспиральной силы, вращения и стратификации среды. Рассмотрено также влияние мелкомасштабных магнитных флуктуаций с нулевой спиральностью
на генерацию крупномасштабных вихревых и магнитных полей. Результаты настоящей работы могут найти применение к ряду астрофизических задач.
Основные уравнения ипостановка задачи.
Динамику вращающейся электропроводящей среды (плазмы) с учетом ее самогравитации описываем хорошо известными уравнениями магнитной гидродинамики:

(2)
(3)
(4)
Здесь ,
, P,
,
— возмущения скорости, плотности, давления, индукции магнитного поля и гравитационного потенциала среды относительно равновесного состояния:
(5)
где – радиус-вектор элемента среды. Коэффициенты
и
соответствуют первой и второй кинематической вязкости для сжимаемой среды,
— коэффициенты динамической вязкости,
— коэффициент магнитной вязкости,
– коэффициент электропроводности среды,
- гравитационная постоянная. С целью упрощения вычислений выберем декартовую геометрию задачи, для которой вектор угловой скорости
считаем постоянным и направленным вдоль оси
вертикально вверх (
-единичный вектор по вертикали). Уравнения (1)-(4) дополним уравнением состояния среды, которое для простоты выберем в виде:
(6)
Здесь – скорость звука. Уравнение равновесия (5), используя (6), перепишем в следующем виде:
(7)
Здесь ,
, где
=
- характерный масштаб неоднородности или стратификации среды, которая возникает естественным образом в поле гравитации. Выбор обозначений для равновесного состояния (индекс с двумя нулями) связан с избежанием путаницы при использовании обозначений асимптотических разложений далее. В уравнение (1) включена внешняя сила
, моделирующая источник возбуждения в среде мелкомасштабных и высокочастотных флуктуаций поля скорости
с малым числом Рейнольдса
. Рассмотрим неспиральную внешнюю силу
со следующими свойствами:
div


(9)
где – характерный масштаб,
- характерное время,
- характерная амплитуда. Заметим, что мелкомасштабное магнитное поле
в линейном приближении не может возбуждаться внешней мелкомасштабной силой
, так как это следует из уравнения (3). Поэтому ниже мы рассмотрим два возможных сценария развития крупномасштабной неустойчивости. Первый, когда мелкомасштабное магнитное поле
существует изначально, и второй, когда мелкомасштабное поле
создается внешним источником
, имеющим такие же топологические свойства как и сила
, т. е.
. Естественно, что возбуждаемое таким источником магнитное поле также неспирально:
. Характерный масштаб источника
и характерное время
удобно выбрать совпадающими с характерными масштабами
и
соответственно, но характерные амплитуды этих источников будем предполагать разными:
,
.
Кроме того, среду для простоты будем считать безграничной и пренебрежем влиянием внешнего магнитного поля. В такой постановке проблема представляет интерес для теории динамо [2–6]. Теперь перейдем в уравнениях (1)-(4) к безразмерным переменным:
,
,
,
В безразмерных переменных уравнения (1)-(4) примут вид:
(10)
(11)
(12)
(13)
где













,
(14)
где и
– обозначают производные по быстрым переменным
, а
и
– производные по медленным переменным
. Переменные
и
соответственно можно назвать мелкомасштабные и крупномасштабные переменные. Для переменных
,
,
,
представим разложение в виде ряда по малому параметру R:
(15)
Подставляя разложения (14)-(15) в систему уравнений (10)-(13) и собирая вместе члены с одинаковыми порядками по до степени
включительно, получим уравнения многомасштабного асимптотического разложения. В пятом порядке по
теории возмущений получим основную систему секулярных уравнений для описания эволюции крупномасштабных возмущений:
(16)
(17)
(18)
(19)
Эти уравнения дополним секулярными уравнениями, полученными в других порядках по :
,
,
,
,
(20)



Из уравнений (20) следует, что для крупномасштабных двумерных движений устанавливается баланс сил Кориолиса и гравитации. Двумерность поля скорости позволяет рассматривать уравнения (16)-(19) в рамках квазидвумерной задачи, когда крупномасштабные производные по Z предпочтительнее, т. е.
а крупномасштабные возмущения
зависят только от
- координаты:
(22)
На начальном этапе эволюцию крупномасштабных возмущений можно представить в виде плоской волны с волновым вектором . Тогда из условия соленоидальности крупномасштабного магнитного поля:
или
ясно, что поле
имеет компоненты
Для исследования устойчивости малых крупномасштабных возмущений в уравнениях (16)-(19) можно пренебречь нелинейными членами. В итоге упрощенная система уравнений, описывающая эволюцию крупномасштабных возмущений, принимает вид:
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
=0(29)
Поскольку исследуется проблема генерации крупномасштабных вихревых движений и магнитных полей во вращающейся электропроводящей среде с мелкомасштабными и высокочастотными флуктуациями, то достаточно получить уравнения (23)-(26) в замкнутом виде. Для этой цели нужно вычислить корреляторы:
(30)
(31)
,
(32)
,
(33)
Их вычисление осуществляется используя решения уравнений для мелкомасштабных полей в нулевом и во втором порядках по .
Замкнутые уравнения для крупномасштабных полей.
В целях упрощения расчетов, выберем неспиральную внешнюю силу , удовлетворяющую условиям (10), в следующем виде:
(34)
где – амплитуда внешней силы,
,
,
. Вид внешней силы
(34) можно записать в комплексной форме:
(35)
которая и будет использоваться в дальнейших вычислениях. Мелкомасштабное магнитное поле

(36)
где введено обозначение для оператора . Отсюда видно, что топологические свойства мелкомасштабного поля будут заданы самим источником
.
Для неспирального внешнего источника его вид можно аппроксимировать следующей формулой:
или в комплексной форме:
(37)
Отличие вида внешней неспиральной силы и источника
состоит в разных по величине безразмерных амплитудах:
. Используя приведенные выше соотношения (35), (37) и выражения для мелкомасштабных полей в нулевом и во втором порядках по
получим замкнутую систему уравнений, которая описывает эволюцию крупномасштабных полей скорости
и магнитной индукции
:
(38)
(39)
(40)

Из уравнений (38)-(41) видно, что коэффициенты и
отвечают за конвективный перенос крупномасштабных возмущений скорости
и магнитного поля
соответственно. Коэффициенты
и
соответствуют гидродинамическому и МГД
- эффектам с помощью которых происходит генерация вихревых и магнитных возмущений. Посредством коэффициентов
,
,
осуществляется взаимное влияние крупномасштабного поля скорости
на динамику магнитного поля
и наоборот. Если предположить отсутствие источника мелкомасштабных магнитных полей (
, то система самосогласованных уравнений (38)-(41) расщепляется на две пары не связанных уравнений для крупномасштабной скорости
:
(42)
и крупномасштабного магнитного поля :
(43)
Первая система уравнений (42), за исключением конвективных членов, соответствует уравнениям гидродинамического - эффекта [8], который приводит к генерации крупномасштабных вихревых структур. Вторая система уравнений (43), также за исключением конвективных членов, описывает хорошо известный из теории динамо [1–7] МГД
- эффект, приводящий к генерации крупномасштабного магнитного поля мелкомасштабной спиральной турбулентностью. Ниже рассмотрим генерацию крупномасштабных возмущений в более общем случае, который соответствует системе уравнений (38)-(41).
Крупномасштабная неустойчивость.
Приступим сначала к анализу возможности появления крупномасштабной неустойчивости в системе уравнений (42)-(43). Для этого выберем крупномасштабные возмущения скорости и магнитной индукции
в виде плоских волн с волновым вектором
:
(44)
,
где ,
— амплитуды волновых возмущений.

Рис. 1. График зависимости инкремента неустойчивости от волновых
чисел
Подставляя (44) в систему уравнений (42)-(43) получим дисперсионные уравнения для случая отсутствия источника мелкомасштабных магнитных полей (:
(45)
Решения уравнений (45) содержат как реальную, так и мнимую часть частоты :
(46)
Как видно из (46), крупномасштабные возмущения могут не только нарастать (затухать) со временем, но и совершать колебания с частотами и
. Коэффициенты
и
имеют смысл фазовой (групповой) скорости распространения вихревых и магнитных возмущений соответственно. В наиболее интересном физическом случае
и при
эти коэффициенты
и
принимают самый простой вид:
(47)

Решение с первым инкрементом (см. Рис. 1) описывает генерацию крупномасштабных вихревых структур во вращающейся стратифицированной электропроводящей среде с коэффициентом усиления
равным:
(49)
Рис. 2. График зависимости ГД -эффекта от вращения среды (параметра
) при
и
Величина коэффициента зависит от параметра вращения среды
, график зависимости которой изображен на Рис. 2. При увеличении эффекта вращения (
) мы наблюдаем стремление
, или подавление ГД
- эффекта. Подобное явление было описано в работе [32]. Антисимметричная зависимость
от параметра вращения
позволяет перенести сделанные выше выводы для области отрицательных значений проекций
в обратном порядке. Инкремент вихревой неустойчивости (
) имеет вид известного из линейной теории динамо
- эффекта (см. Рис. 1). Максимальное значение инкремент неустойчивости
достигает при
.
Рис. 3. График зависимости МГД -эффекта от вращения жидкости (параметра
) для магнитных чисел Прандтля
при при
и
Магнитогидродинамический -эффект (или
-эффект) также увеличивается при «медленном» вращении до максимального значения
Рис. 4. Трехмерное изображение зависимости коэффициента от параметра вращения
и числа Прандтля









(50)
Максимальный инкремент достигает своего значения при волновых числах
(см. Рис. 5). Эффект генерации крупномасштабного магнитного поля мелкомасштабной спиральной турбулентностью в электропроводящих средах хорошо известен (см. например [1–7]) и носит название магнитогидродинамического (МГД)
-эффекта или
-эффекта. Полученные нами соотношения (49)-(50) указывают на существование двух
-эффектов в электропроводящей среде с ненулевой спиральностью
[25].
Рис. 5. График зависимости инкремента неустойчивости от волновых чисел
Рис. 6. Слева — трехмерное изображение зависимости коэффициента от параметра вращения
и магнитного числа Прандтля
, справа — на рисунке показаны области
(светлая часть) и
(темная часть) на плоскости
Для слабопроводящих сред ()
-эффект мал, поэтому происходит генерация только крупномасштабных вихревых движений. Эта закономерность особенно видна на Рис. 6, где изображена зависимость отношения
от параметров вращения
и магнитного числа Прандтля
:
(51)
В правой части Рис. 6 на плоскости показаны области превосходства максимального инкремента неустойчивости для вихревых возмущений
над масксимальным инкрементом неустойчивости для магнитных возмущений
(
) и наоборот (
). На этом графике мы видим, что наибольшей области соответствует случай
, т. е. темпы роста магнитных возмущений выше чем вихревых возмущений. При фиксированных параметрах вращения
и магнитных числах Прандтля
из Рис. 5 видно, что
на интервале волновых чиисел
. Таким образом, в результате развития крупномасштабной неустойчивости рост магнитных возмущений опережает рост вихревых возмущений.
Перейдем теперь к общему случаю при наличии мелкомасштабных стационарных флуктуаций магнитных полей, уровень которых поддерживается источником мелкомасштабной МГД-турбулентности. Раcсмотренный нами -эффект на линейной стадии возможен при наличии мелкомасштабного поля
, или так называемого в литературе [3] «затравочного» магнитного поля. В теории динамо, к настоящему времени, известно множество механизмов генерации «затравочных» магнитных полей, например, при термоэффекте [28], при развитии плазменных неустойчивостей [29–31] и т. д. Механизм возбуждения «затравочных» магнитных полей будем моделировать в виде внешнего источника, в результате действия которого возникают поля
со спиральностью равной нулю:
. Динамика крупномасштабных полей в этих условиях описывается самосогласованной системой уравнений (38)-(41), в которой видно взаимное влияние крупномасштабного магнитного поля на вихревое движение среды и наоборот. С учетом источника флуктуаций магнитного поля общее решение системы уравнений (38)-(41) можно представить в следующем виде:


В формуле (52) частота с учетом внешнего источника
имеет вид:
(53)
где ,
.
Величина играет роль коэффициента усиления вихревых и магнитных возмущений, обусловленного действием внешнего источника
. Очевидно, что при
решения (52) переходят в (44). Подставим решения (52) в систему уравнений (38)-(41), и проводя обычные вычисления, получим систему уравнений для амплитуд возмущений:
(54)
Условием разрешимости для системы уравнений (54) является равенство нулю детерминанта, после раскрытия которого получим дисперсионное уравнение:
(55)
где введены следующие обозначения:
(56)
Входящие в формулы (54)-(56) новые коэффициенты появляются в результате действия внешнего источника МГД турбулентности (
), и при выполнении условия
и
они имеют следующий вид:

(58)
(59)
(60)
(61)
Дисперсионное уравнение (55), после несложных алгебраических преобразований, можно записать в другом более удобном виде:
(62)
Извлекая квадратный корень с обеих сторон уравнения (62), оно распадается на два уравнения:
(63)

Рассмотрим уравнение (63), которое после умножения левой и правой частей на сводится к уравнению для
:
(65)
Из (65) видно, что коэффициент комплексная величина и может быть представлен как
(66)
где – действительная часть
:
– дает вклад в инкремент крупномасштабной неустойчивости,
– мнимая часть
дает вклад в частоту колебаний крупномасштабных возмущений. Подставляя (66) в (65) получим систему уравнений для
и
:
(67)
Отсюда легко найти значения и
:
,
,
,
(68)
Здесь введены обозначения: ,
.
Используя определение (66) находим общие выражения для коэффициента :

(70)
Согласно формуле (69) положительная часть дает вклад в инкремент крупномасштабной неустойчивости:
(71)
а мнимая часть дополнительную поправку к частоте колебаний:
(72)
Аналогично находятся вклады в инкремент и частоту колебаний из решения (70):
(73)
(74)
Таким образом, учет источника мелкомасштабного магнитного поля приводит к перенормировке коэффициентов усиления и частот колебаний для ГД и МГД - эффектов:
(75)


где ,
Рис. 7. Слева – светлая часть рисунка соответствует области неустойчивости вихревых возмущений, асправа – темная часть рисунка соответствует области неустойчивости магнитных возмущений при включенном источнике турбулентности ипараметрах
,
Максимальные значения инкрементов соответственно принимают вид:
при
(77)
при
(78)
Нетрудно заметить, что в полученные здесь добавки входят коэффициенты
посредством которых осуществляется влияние вихревых движений на магнитные поля и наоборот. Включение источника мелкомасштабного магнитного поля
, как видно из выражений (77)-(78), приводит к перестройке порога неустойчивости. При помощи численных методов мы можем определить области неустойчивости для вихревых и магнитных возмущений. Для вихревых возмущений эта область изображена на Рис. 7 в плоскости
для фиксированных значений
,
и амплитуд безразмерных внешних источников равных десяти:
. Аналогичным образом определяются области неустойчивости для магнитных возмущений, которые изображены также на Рис.7.
Заключение.
В заключении приведем количественные оценки характерных масштабов и времен крупномасштабной неустойчивости на примере галактической среды. Начнем анализ оценок масштабов для неустойчивости типа гидродинамического -эффекта. Выше мы получили максимальное значение для инкремента неустойчивости вихревых возмущений
и соответственно – характерный масштаб неустойчивой моды
и характерный временной масштаб ее нарастания
. Очевидно, что для нахождения этих масштабов нужно оценить коэффициент
. Из теории динамо [1–7] известно определение гидродинамической спиральности
, которую выразим через безразмерную амплитуду источника:

здесь — безразмерная амплитуда силы, входящая в формулы (49)-(50). При выводе этой формулы мы полагали установление баланса между источником и диссипацией в стационарном случае. Далее из формулы (49) коэффициент усиления
при малых числах параметра вращения
(для центральной части нашей Галактики
) принимает вид:
Для оценок часто полагают (см. например [6]), и в итоге характерные пространственный и временной масштабы соответственно равны:
Используя эспериментальные данные для нашей Галактики: (центральная часть Галактики),
,
(
),
[6] легко найти численные оценки
и
:
,
. Это вполне приемлемые оценки характерных масштабов для галактической генерации крупномасштабной вихревой структуры спирального типа. Проводя аналогичные рассуждения можно вычислить характерные пространственные
и временные масштабы
для крупномасштабной неустойчивости МГД
-эффекта:
Численные оценки и
показывают, что в галактической среде, в результате развития данной неустойчивости, крупномасштабное магнитное поле генерируется быстрее
и имеет меньший характерный масштаб
, чем крупномасштабная вихревая структура. Заметим, что проделанные здесь оценки для характерных масштабов крупномасштабной неустойчивости справедливы при выполнении условия
, т. е. когда характерный масштаб турбулентности
и стратификации
примерно равны:
, а характерный временной масштаб турбулентности:
Зная определение джинсовой частоты можно оценить плотность галактической среды:
. Это типичная плотность для галактических дисков [6, 27].
Применяя асимптотический метод многих масштабов, получены условия возникновения крупномасштабной неустойчивости во вращающейся стратифицированной самогравитирующей электропроводящей среде при наличии внешней мелкомасштабной силы с нулевой спиральностью и малым числом Рейнольдса. Это условие позволило использовать число Рейнольдса в качестве малого параметра асимптотического разложения. В нулевом порядке теории возмущений показана возможность генерации спиральности мелкомасштабного поля скорости (или спиральной турбулентности) во вращающейся стратифицированной самогравитирующей элекропроводящей среде в результате действия внешней неспиральной силы [25]. Именно этот факт приводит к возникновению крупномасштабной неустойчивости типа -эффекта, вследствие которого происходит генерация крупномасштабных вихревых и магнитных возмущений. Причем темпы роста магнитных возмущений выше, чем у вихревых. Мелкомасштабные пульсации магнитного поля, возбуждаемые стационарным источником с нулевой спиральностью, оказывают влияние на эволюцию крупномасштабных возмущений. В этом случае меняется порог крупномасштабных неустойчивостей и на Рис. 7 показаны области где проявляется гидродинамический и магниогидродинамический
-эффекты. С ростом амплитуды эти неустойчивости выходят на нелинейную стадию и формируют стационарные крупномасштабные структуры. Исследование этих вопросов можно провести также с использованием метода многих масштабов [16].
Литература:
- Штеенбек М., Краузе Ф. Возникновение магнитных полей звезд и планет в результате турбулентного движения их веществ. // Магнитная гидродинамика. 1967. № 3. С. 19–44.
- Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир. 1980. 343 с.
- Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике. Инст. комп. иссл. РХД.: Ижевск. 2006. 384 с.
- Паркер Ю. Беседы об электрических и магнитных полях в космосе. Инст. комп. иссл. РХД.: Ижевск. 2010. 208 с.
- Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. М.: Мир. 1984. 314 с.
- Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Магнитные поля галактик. М.: Наука. 1988. 279 с.
- Соколов Д. Д., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Динамо на пути от астрофизических моделей к лабораторному эксперименту. // УФН. 2014. Т. 184. С. 318–335.
- Моисеев С. С., Оганян К. Р., Руткевич П. Б., Тур А. В., Хоменко Г. А., Яновский В. В. Вихревое динамо в спиральной турбулентности. В сб.: Интегрируемость и кинетические уравнения для солитонов. Наук. Думка: Киев. 1990. С. 280–382.
- Моффат Г. Некоторые направления развития турбулентности. Соврем. гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир. 1984. С. 48–76.
- Krause F., Rudiger G. On the Reynolds stresses in mean-field hydrodynamics. I. Incompressible homogeneous isotropic turbulence. // Astron. Nachr. 1974. V. 295. P. 93–99.
- Моисеев С. С., Сагдеев Р. З., Тур А. В., Хоменко Г. А., Яновский В. В. Теория возникновения крупномасштабных структур в гидродинамической турбулентности. // ЖЭТФ. 1983. Т. 85. С. 1979–1987.
- Петросян А. С. Дополнительные главы теории турбулентности. Спиральная турбулентность. Москва: ИКИ РАН. 2013. 60 с.
- Moiseev S. S., Rutkevitch P. B., Tur A. V., Yanovsky V. V. Vortex dynamos in a helical turbulent convection. // Sov. Phys. JETP. 1988. V. 67. P. 294–303.
- Новиков Е. А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности. // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. Вып. 5(11). С.1919–1926.
- Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука. 1980. 337 с.
- Frishe U., She Z. S., Sulem P. L. Large Scale Flow Driven by the Anisotropic Kinetic Alpha Effect. // Physica D. 1987. V. 28. P. 382.
- Дружинин О. А., Хоменко Г. А. Нелинейная теория гидродинамического альфа-эффекта в сжимаемой среде и обратный каскад энергии. В тр. Межд. конф.: Нелинейные и турбулентные процессы в физике. Киев: Наук. думка. 1982. Т. 2. С. 83–86.
-
Rutkevitch P. B., Sagdeev R. Z., Tur A. V., Yanovsky V. V. Nonlinear dynamic theory of the
-effect in compressible fluid. Proceeding of the IV Intern. Workshop on Nonlinear and Turb. Pros. in Physics. Kiev.1989. V. 2. P. 172–175.
- Tur A. V., Yanovsky V. V. Large-scale instability in hydrodynamics with stable temperature stratification driven by small-scale helical force. ArXiv:1204.5024 V.1 [physics. Flu-dyn.] (2012).
- Tur A. V., Yanovsky V. V. Non Linear Vortex Structure in Stratified Driven by Small- scale Helical Forse. // Open Journal of Fluid Dynamics. 2013. V. 3. P. 64–74.
- Копп М. И., Тур А. В., Яновский В. В. Крупномасштабная конвективная неустойчивость в электропроводящей среде с мелкомасштабной спиральной турбулентностью. // ЖЭТФ. 2015.Т. 147. С. 846–866.
- Kopp M., Tur A., Yanovsky V. The Large Scale Instability in Rotating Fluid with Small Scale Force // Open Journal of Fluid Dynamics. 2015. V. 5. P. 128–138.
- Kopp M., Tur A., Yanovsky V. Nonlinear Vortex Structures in Obliquely Rotating Fluid. // Open Journal of Fluid Dynamics. 2015. V. 5. P. 311–321.
- Копп М. И. Крупномасштабное магнитовращательное динамо. I. Линейная теория без внешнего магнитного поля // Альманах современной науки и образования. 2016. № 4 (106). С. 59–73.
- Копп М. И. Генерация крупномасштабных вихревых структур во вращающейся самогравитирующей среде с мелкомасштабной неспиральной силой // Молодой ученый. 2016. № 11(115). С. 101–110.
- Чхетиани О. Г. Самоорганизация и турбулентность в отражательно-несимметричных плазменно-гидродинамических средах. Дисс. на соиск. уч. степени докт. физ.-мат. наук. Москва. 1999. 262 с.
- Рольфс К. Лекции по теории волн плотности. М.: Мир. 1980. 205 с.
- Долгинов А. З., Урпин В. А. Термомагнитная неустойчивость неоднородной плазмы. // ЖЭТФ. 1978. Т. 77. С. 1921–1932.
- Вайнштейн С. И., Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.: Наука.1980. 354 с.
- Вайнштейн С. И. Магнитные поля в космосе. М.: Наука.1983. 237 с.
- Montgomery D., Chen H. Turbulent amplification of large-scale magnetic fields. // Plasma Physics and Controlled Fusion. 1984. V. 26. № 10. P. 1199–1210.
- Rudiger G. On the α-Effect for Slow and Fast Rotation. // Astron. Nachr. 1978. V.299. № 4. P. 217–222.