Рассмотрим кубатурную формулу вида
(1)
над пространством Соболева 
, где 
— 
-мерный единичный куб. Обобщённая функция
(2)
называется функционалом погрешности кубатурной формулы (1),
является погрешностью кубатурной формулы (1), 
весовая функция, 
— характеристическая функция 
, 
и 
— коэффициенты и узлы кубатурной формулы (1) и 
— дельта-функция Дирака.
Определение. Пространство 
— определяется как пространство функций заданных на 
-мерном единичном кубе и имеющие все обобщённые производные порядка 
, суммируемые со степенью 
в норме
(3)
Справедлива следующая
Лемма. Если для функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) выполняется условие Декартовых произведений, т. е.
и 
- константы, (4)
т. е 
- константы, 
, (5)
то 
- константа, (6)
или 
,
где 
,
и 
.
Доказательство ведем методом математической индукции.
Пусть 
, тогда 
, 
,
, 
, 
,
и 
.
Так как в дальнейшем мы будем использовать норму функции в одномерном случае то (3) при 
принимает следующий вид.
(7)
Таким образом, имеем
, (8)
Вычислим следующую норму
где 
— константа. (9)
Таким образом, из (8) и (9) получим:
(10)
Из (10), пользуясь определением нормы, получим
(11)
Учитывая (4), на основании (11), имеем
т. е. 
, где 
. (12)
Пусть теперь неравенство (6) справедливо при 
, тогда на основании приведенных выше вычислений, получим
Используя справедливость утверждения леммы при 
докажем, что утверждение выполняется при 
.Учитывая (12) при 
оценим погрешность кубатурной формулы вида (1)
. (13)
Отсюда, как и выше, пользуясь определением нормы функционала, получим
. (14)
Из неравенств (4) и (14) имеем:
(15)
С помощью этой леммы легко доказывается следующая теорема.
Теорема. Весовая кубатурная формула (1) с функционалом погрешности (2) при 
и 
является оптимальной по порядку сходимости над пространством 
т. е. для нормы функционала погрешности (2) кубатурной формулы (1) имеет место равенство 
.
Литература:
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974–808с.
- Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Наука. 1988, — 333с.
