Моделирование процессов фильтрации суспензии в пористой среде

Фильтрование нашло широкое применение во многих отраслях промышленности для сгущения твердой фазы суспензии и осветления жидкостей, в том числе сбросовых вод промышленных предприятий (например, целлюлозно-бумажных, угледобывающих) и коммунального хозяйства. Начало теории фильтрации суспензии связано с [1,2,3].

В [4, 5] предложено, что осадок в пористом пространстве фильтра глобулярной структуры имеет две формы — вымываемую и невымываемую. Соответственно зоны фильтра называются активными и пассивными. Активные зоны, омываемые струйной составляющей потока, формируют вымываемый осадок с концентрацией , пассивные зоны, являющиеся застойными, формируют невымываемый осадок с концентрацией . Обозначим полную емкость фильтра через . Из изложенного следуют , где и — емкости соответственно активных и пассивных зон. Указанные емкости являются динамическими характеристиками. Они зависят не только от «качества» дисперсной фазы, но и от скорости и структуры потока, а также геометрии слоя.

Кинетика осадка образования в процессе фильтрация суспензии в пористой среде, как правило определяется в виде [6]

,

где, — концентрация суспензии, – концентрация осадка, — функция характеризующая кинетику осадкообразования, зависит от формы глобулярной структуры.

Для невымываемого осадкообразования, где взвешенные частицы, когда-то осевшие в поровом объеме, никогда не освобождаются потоком жидкости [1,7], уравнение кинетики осаждения этого типа имеет форму . Где не является постоянной в течение процесса фильтрации, — скорость фильтрации.

Для вымываемого осадкообразования, где взвешенные частицы поочередно осаждаются и освобождаются потоком жидкости [2,8], соответствующее уравнение кинетики имеет вид , с феноменологическими коэффициентами осаждения и освобождения, и, определяемыми эмпирическим (опытным) путем.

В [4, 5] кинетика образования невымываемой формы осадка описывается уравнением

,(1)

и аналогична моделям безотрывного фильтрования, где — концентрация суспензии, — коэффициент, связанный с эффектом уплотнения (старения) осадка,

Для активных зон в [4, 6] дано уравнение кинетики в виде

,(3)

где — постоянная концентрация, — коэффициент, характеризирующий кинетику в активной зоне, совпадающий с линейной моделью фильтрация.

В [9–10] на основе вероятностного подхода предлагаются модифицированные уравнения кинетики кольматации и суффозии. Кольматационные и суффозионные процессы зависят от градиента давления — , причем чем больше , тем меньше вероятность кольматации и тем больше вероятность суффозии [9]. Исходя из этого, кинетическое уравнение (3), характеризующее осаждение и освобождение твердых частиц в вымываемой зоне пористой среды можно представить в виде

,(4)

где , — постоянные коэффициенты, — модуль градиента давления.

Степень вымываемости осадка характеризует величина . Экспериментально показано [11], что , причем для тонкодисперсных загрузок (0,05–0,1 мм) при тех же условиях фильтрования меньше, чем для крупнозернистых (0,5–2 мм), а для пористых материалов с развитой поверхностью (керамзит) меньше, чем для материалов с гладкой поверхностью (песок). Это подтверждает, что емкость активной зоны намного меньше, чем емкость пассивной, т. е. .

Рассмотрим полубесконечный однородный пласт с первоначальной пористостью , заполненный однородной жидкостью (те жидкостью без дисперсных частиц) В точке , начиная с в пласт поступает суспензия с концентрацией со скоростью фильтрации 

Система уравнений фильтрации суспензии состоит из уравнения баланса с учетом диффузии, модифицированного уравнения кинетики в активной зоне (4), уравнения (1) с учетом явления старения в пассивной зоне и закона Дарси, в одномерном случае имеет вид

,

,

, ,

где — текущая пористость среды, — коэффициент фильтрации.

Для выражения используем закон Кармана-Козени , .

Для замыкания системы (5) используем следующие начальные и граничные условия

.(6)

Для решения задачи (5)-(6) применим метод конечных разностей [10]

При фильтрования суспензий образующийся осадок, как правило, является невымываемым [12], поэтому для таких загрузок можно положить . Тогда система (5) в пренебрежении активной составляющей скорости формирования осадка примет вид

(8)

Решаем эту систему при условиях

На основе численного решения задач (5)-(6) и (7)-(8) определены поля концентраций .

Из рис. видно, что пренебрежение эффектами вымываемости осадка приводит к увеличению концентраций взвешенных частиц в потоке суспензии и невымываемого осадка в соответствующих точках пласта.

Рис. 1. Профили изменения (а), (б) при (- — - , ─── , 1 — t=450 c, 2 — t=900 c, 3 — t=1350 c) , , , , , , м/c, с^-1, м/МПа, м/МПа, м²/(МПа·с)

Литература:

1. Iwasaki T. Some notes on sand filtration of sand filtration, Journal of American Water Works Assosation 29 (5) (1937) 1591–1602.
2. Минц Д. М. Кинетика фильтрации малоконцентрированных водных суспензий на водоочистных фильтрах. — Докл. АН СССР, 1951, 78, № 2, с. 315–318.
3. Шехтман Ю. М. Фильтрация малоконцентрированных суспензий. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 212 с.
4. Веницианов Е. В., Рубинштейн Р. Н. Динамика сорбции из жидких сред. — М.: Наука, 1983. — 237 с.
5. Веницианов Е. В., Сенявин М. М. Математическое описание фильтрационного осветления суспензий // Теорет. основы хим. технологии, 1976. 10, № 4. С. 584–591.
6. C. Tien, B. V. Ramarao, Granular Filtration of Aerosols and Hydrosols, 2nd ed., Elsevier, 2007
7. Ives K. J., Theory of filtration. Special Lecture No.7, in: Proceedings of the International Water Supply Association, Eight Congress, Vienna, 1969, vol. 1, pp. K3-K28.
8. Adin A., Rebhun M., A model to predict concentration and head-loss profiles in filtration // Journal of American Water Works Association 69 (8) (1977) 444–453.
9. Хужаёров Б Х Модель фильтрации суспензии с учетом кольматации и суффозии // ИФЖ. 1992. Т. 63, № 1 С 72–79
10. Хужаёров БХ, Давиденко МА О модификации модели кольматационно-суффозионной фильтрации // ДАН РУз. 1997. № 5 С 25–28
11. Митин Б. А. Исследование влияния структурно-механических свойств осадка на работу зернистых осветлительных фильтров: Автореф. дис. канд. техн. наук М.: ВНИИ ВОДГЕО, 1969, — 18 с.
12. Скворцов Н.Г, Веницианов Е. В., Сенявин М. М. Расчет фильтрационного осветления малоконцентрированных суспензий на тонкодисперсных загрузках. — Теорет. основы хим. технологии, 1981, 15, № 1, с. 141–144.