В настоящей работе рассматривается обобщенная модель Фридрихса 
, действующая в прямой сумме 0 — и 1 — частичных подпространств Фоковского пространства.
Такие модели обычно возникают в актуальных задачах квантовой механики, статистической механики и гидродинамики [1–3]. Пороговые резонансы для семейства модели Фридрихса с одномерным возмущением, которые ассоциированы с системой двух частиц на решетке, изучены в работах [4,5], a для двухчастичного дискретного оператора Шредингера изучены в работах [6,7]. В данной работе обсуждается случай параметра функции 
специального вида. Показывается, что эта функция имеет невырожденный минимум в нескольких различных точках трехмерного тора 
. Исследуются необходимые и достаточные условия для того, чтобы, оператор 
имел виртуальный уровень в точке 
(или резонанс с нулевой энергией) в зависимости от точки минимума функции 
. При этом нуль является нижней гранью существенного спектра оператора 
.
Пусть - трехмерный тор, т. е. куб 
— с соответствующим отождествлением противоположных граней, 
— одномерное комплексное пространство и 
— гильбертово пространство квадратично-интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на . Символом 
обозначается прямая сумма пространств 
и 
, т. е. 
. Пространства 
и 
называются нольчастичным и одночастичным подпространствами фоковского пространства 
по 
, соответственно.
Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса 
, действующую в гильбертовом пространстве 
и задающуюся как блочно–операторная матрица
,
где матричные элементы 
, 
, 
определяются равенствами
, 
.
При этом 
— фиксированное вещественное число, 
— вещественнозначная четная дважды непрерывно дифференцируемая функция на , функция 
определена по формулам
,
где
сопряженный оператор к 
и 
.
Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования. Легко можно проверить, что оператор 
, действующий в гильбертовом пространстве 
, является ограниченным и самосопряженным.
Обозначим через 
, 
и 
, соответственно, спектр, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Из известной теоремы Г. Вейля [8] о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что 
.
Определим регулярную в 
функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором 
)
.
Рассмотрим точки 
из 
, для которых 
, причем 
при 
. Ясно, что число таких точек равно 27. Легко проверяется, что функция 
имеет невырожденный минимум в точках 
, 
. Функция 
является непрерывной на 
, поэтому существует конечный интеграл
.
Из теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега следует, что 
.
Пусть 
(соот. 
) — банахово пространство непрерывных (соот. интегрируемых) функций, определенных на 
.
Определение 1.Пусть 
. Говорят, что оператор 
имеет виртуальный уровень в точке 
(или резонанс с нулевой энергией), если число 
является собственным значением интегрального оператора
и по крайней мере одна (с точностью до константы) соответствующая собственная функция 
удовлетворяет условию 
при некотором 
.
Следующая теорема о необходимых и достаточных условиях для того чтобы, оператор 
имел виртуальный уровень в точке 
.
Теорема 1.Оператор 
имеет виртуальный уровень в точке тогда и только тогда, когда 
и 
при некотором .
Доказательство. Необходимость. Пусть оператор 
имеет виртуальный уровень в точке . Тогда по определению 1 уравнение
(1)
имеет нетривиальное решение 
, удовлетворяющее условию при некотором . Видно, что это решение равно (с точностью до константы) функции 
и следовательно, 
.
Достаточность. Пусть 
и 
при некотором . Тогда функция 
является решением уравнения (1), и следовательно, по определению 1 оператор 
имеет виртуальный уровень в точке . Теорема 1 доказано.
Из доказательства теоремы 1 видно, что если оператор 
имеет виртуальный уровень в точке , тогда решение уравнения 
равно (с точностью до константы) функции 
.
Литература:
- Фаддеев Л. Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Труды Мат. Инс-та АН СССР, 73 (1964), С. 292–313.
- Минлос Р. А., Синай Я. Г. Исследование спектров стохастических операторов, возникающих в решетчатых моделях газа. Теор. и матем. физ. 2:2 (1979), С. 230–243.
- Дынкин Е. М., Набако С. Н., Яковлев С. И. Граница конечности сингулярного спектра в самосопряженной модели Фридрихса. Алгебраи анализ. 3:2 (1991), С. 77–90.
- Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. The threshold effects for a family of Friedrichs models under rank one perturbations. J. Math. Anal. Appl. 330 (2007), P. 1152–1168.
- Albeverio S., Lakaev S. N., Djumanova R. Kh. The Essential and Discrete Spectrum of a Model Operator Associated to a System of Three Identical Quantum Particles. Rep. Math. Phys. 63:3 (2009), P. 359–380.
- Albeverio S., Lakaev S. N., Makarov K. A., Muminov Z. I. The threshold effects for the two-particle Hamiltonians in lattice. Comm. Math. Phys. 262 (2006), P. 91–115.
- Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. Schroedinger operators on lattices. The Efimov effect and discrete spectrum asymptotics. Ann. Henri Poincare. 5 (2004), P. 743–772.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4, Анализ операторов. — М., Мир, 1982.
