Блочно-операторные матрицы — это матрицы, элементы которых являются линейными операторами, определенными между банаховым или гильбертовым пространством. Такие операторы возникают в статистической физике, теории твердого тела, теории химических реакции, магнито-гидродинамике, квантовой механике и т. д. Недавно в монографии [1] подробно изучены абстрактные свойства ограниченных и неограниченных блочно-операторных матриц и их применения в некоторых задачах математической физики.
В настоящей работе рассматривается блочно-операторная матрица 
действующая в так называемом двухчастичном обрезанном подпространстве Фоковского пространства. Описан дискретный спектр оператора 
и задача состоит в обосновании этих описаний.
Отметим, что оператор 
можно рассмотреть как одномерное возмущение оператора 
, рассмотренного в работах [2, 3], где изучены пороговые явления для оператора 
.
Пусть 
— компактное связанное множество, 
- гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
и 
— одномерное комплексное пространство.
Обозначим
Гильбертово пространство 
называется трехчастичным обрезанным подпространством Фоковского пространства.
Рассмотрим блочно-операторную матрицу , действующую в гильбертовом пространстве и задающуюся как
, (1)
где матричные элементы 
определяются по формулам
Здесь 
— фиксированное вещественное число, 
— вещественнозначные непрерывные (ненулевые) функции на 
. Здесь и в дальнейшем интеграл без указания пределов всюду означает интегрирование по всей области изменения переменных интегрирования.
В современной математической физике оператор 
называется оператором уничтожения, а оператор 
называется оператором рождения, см. [4]. Оператор уничтожения снижает количество частиц в заданном состоянии на единицу, а оператор рождения увеличивает число частиц в данном состоянии на единицу, и является сопряженным к оператору уничтожения. Такие операторы имеют широкое применение в квантовой механике, в частности, в изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем многих частиц.
Легко можно проверить, что оператор , определенный операторной матрицей (1) и действующий в гильбертовом пространстве , является ограниченным и самосопряженным.
Следует отметить, что оператор типа (1) является оператором, носящим название обобщенной модели Фридрихса. Как таковая, обобщенная модель Фридрихса введена в работе [5], где были изучены ее собственные значения и «резонансы» (особенности аналитического продолжения резольвенты). А в работе [6] оно рассматривается как двухканальная молекулярно-резонансная модель.
Обозначим через 
и 
, соответственно, существенный спектр и дискретный спектр ограниченного самосопряженного оператора.
Пусть оператор действует в как
Оператор возмущения 
оператора является ограниченным самосопряженным оператором ранга не более чем 3. Следовательно, из известной теоремы Г. Вейля (см. [7], теорема XIII.14) о сохранении существенного спектра при возмущениях конечного ранга вытекает, что существенный спектр оператора совпадает с существенным спектром оператора . Известно, что
где числа
и 
определяются равенствами
Из последних двух фактов следует, что
Сформулируем основные результаты работы.
Теорема 1.Операторможет иметь не более двух (не более одного) простых собственных значений, лежащих левее (правее ).
Далее, для формулировки второго результата работы вводим операторы
и 
.
Из определения операторов 
видно, что они имеют более простую структуру чем .
Теорема 2. Если один из операторов 
или 
имеет собственное значение 
тогда оператор имеет единственное простое собственное значение на 
Литература:
- C. Tretter. Spectral Theory of Block Operator Matrices and Applications. ImperialCollegePress, 2008.
- Т. Х. Расулов. О существовании виртуального уровня обобщенной модели Фридрихса. Узбекский Математический Журнал. 2007, № 4, стр. 56–63.
- Т. Х. Расулов. О собственных значениях обобщенной модели Фридрихса. Узбекский математический журнал, 2006, № 4, стр. 61–68.
- К. О. Фридрихс. Возмущения спектра операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1972.
- С. Н. Лакаев. Некоторые спектральные свойства модели Фридрихса. Труды семинара им. И. Г. Петровского, 11 (1986), 210–223.
- A. K. Motovilov, W. Sandhas, Y. B. Belyaev. Perturbation of a lattice spectral band by a nearby resonance. J. Math. Phys., 42 (2001), 2490–2506.
- М. Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики, т. 4. Анализ операторов, М.: Мир. 1982.
