Современные процедуры голосования

В данной статье рассматриваются основные процедуры голосования, применяемые на сегодняшний день, описывается механизм действия каждой из них и их работа иллюстрируется на решении конкретной задачи.

Ключевые слова: голосование, выборы, правило Борда, принцип Кондорсе, последовательности предпочтений, парадокс Кондорсе

Современные процедуры голосования имеют множество форм и проявлений, таких как голосования относительного и абсолютного большинства, мажоритарные избирательные системы, одобряющее голосование и многие другие. Они могут быть применены не только на государственном, но также и на муниципальном, и на региональном уровнях. Так же данные схемы могут найти достойное применение и при выборе президента фирмы или кампании, выборе главы совета директоров, выборе директора школы и других подобных ситуациях. Широкий спектр применения данных процедур делает их исследование и совершенствование задачей необыкновенной важности. Каждая из них имеет свои преимущества, которые могут быть различным образом использованы в зависимости от системы, в которой они находят применение. Для того чтобы более наглядно показать процесс работы каждой из них, рассмотрим некоторую конкретную задачу, опишем каждую из процедур, а затем попробуем решить задачу с помощью каждой из них.

Задача. Пусть у нас проводится голосование между тремя кандидатами. Назовем их a,b и c. В голосовании принимают участие N человек, и пусть по условию задачи N=15. Каждый из участников голосования имеет свои предпочтения, в соответствии с которыми он принимает решение и отдает свой голос. Допустим, что предпочтения некоторых людей совпадают, и имеется следующая картина:

где — число людей, имеющих одинаковые предпочтения. Выражение a > b означает, что данный избиратель предпочитает кандидата a и в ситуации выбора междуa и b склонен проголосовать за кандидата a.

Рассмотрим следующие процедуры голосования:

Голосование относительного большинства. Самый простой вид голосования. В своей цепи предпочтений избиратель имеет лидера, которому он и отдает свой голос. Каждый человек голосует только за одного кандидата. После проведения этой процедуры проводится подсчет голосов и человек, набравший наибольшее их количество, побеждает в выборах. Голосование будет безрезультатным лишь в том случае, если кандидаты наберут равное количество голосов избирателей.

Однако после такого голосования количество людей, которые останутся недовольны результатами будет равно 25, что больше половины от всего количества голосующих. Данный факт говорит нам о том, что подобные выборы нельзя назвать в полной мере справедливыми, поэтому данный метод нуждается в модификации.

Голосование абсолютного большинства. Данная процедура отличается от первой тем, что для победы кандидату необходимо набрать строго больше половины голосов избирателей. Если в результате голосования это условие не выполняется, то обычно организовывается второй тур. Чаще всего в него проходят двое кандидатов, набравшие самое большое число голосов в первом туре. Голосование абсолютного большинства применяется при выборах президента страны во множестве государств мира. Россия также входит в их число.

Применим эту методику к задаче, описанной выше. При проведении первого тура голоса распределятся аналогичным прошлому случаю образом. Однако количество поддерживающих победившего в первом туре кандидата a меньше 50 % всех голосующих, поэтому возникает необходимость второго тура. Кандидат a набрал 20 голосов, кандидат с набрал 15 голосов, и именно они вдвоем проходят во второй тур. При голосовании во втором туре те же 20 человек вновь поддержат первого кандидата, 15 представителей третьей группы предпочтений проголосуют за кандидата c, поэтому решающими станут голоса людей, которые в первом туре поддерживали второго кандидата. Для них предпочтительнее победа кандидата c, поэтому они отдадут свои голоса за него. Таким образом, третий кандидат получит 15+10=25 голосов и одержит победу. С подобным исходом будут согласны 56 % избирателей, условие абсолютного большинства выполняется, и результаты второго тура могут быть признаны результатом выборов в целом.

Преимущества данного вида голосования, а именно более точное отражение воли большинства избирателей, особенно важно при большой раздробленности политических взглядов в обществе и большом количестве различных предпочтений среди избирателей. Факт отсеивания кандидатов в ходе процедуры выборов позволяет в итоге получить наиболее умеренный результат, обеспечивающий наиболее стабильное развитие общества.

Голосование споследовательным исключением. Иначе данную методику называют «олимпийской системой». Процедура данного голосования также довольно незатейлива. Будем считать, что в выборах участвует n кандидатов. Каждый кандидат последовательно, начиная с первого, сравнивается со следующим и победивший в парном противостоянии выходит в следующий тур. Следовательно, всего проводится n-1 туров. Победитель последнего тура становится победителем всего голосования.

Применим этот метод к нашей задаче. В первом туре проводится голосование между первым и вторым кандидатами, т. е. a и b. Первый кандидат получает 20 голосов, второй — 25. Следовательно, дальнейшую борьбу продолжает кандидат b, кандидат a выбывает. Во втором туре его соперником становится кандидат с. Голоса распределяются следующим образом: b — 30, с — 15. В этом противостоянии также побеждает кандидат b. Таким образом, он одерживает победу и в выборах в целом.

Голосование по принципу Кондорсе. Данный метод был предложен французским математиком Маркизом де Кондорсе в XVIII веке. Согласно ему, при проведении выборов необходимо организовать попарные голосования между всеми кандидатами, вследствие которых победителем считается тот, кто одержал победу в каждом из них. Результаты данной процедуры записываются в таблице. В каждой ячейке с индексом ijзаписывается число голосов, которые были отданы за i-го кандидата в противостоянии с j-ым в ситуации, когда i-ый кандидат победил в противостоянии.

Построим эту таблицу для рассматриваемой нами задачи:

Таким образом, из таблицы очевидно, что в выборах одерживает победу второй кандидат, так как он победил первого и третьего кандидатов в очных противостояниях.

Основной проблемой при проведении голосования при помощи данного метода является возникновение так называемого парадокса Кондорсе. Он заключается в том, что при проведении голосования в парных противостояниях среди кандидатов не оказывается единственного, который выиграл каждое из них. Иными словами, среди предпочтений избирателей образуется цикличность. Проиллюстрируем примером. Пусть предпочтения голосующих имеют следующий вид:

n₂ = 10: b > c > a

n₃ = 10: c > a > b

При проведении попарных голосований мы получим следующие результаты: при выборе между a иb победу одержит a, при выборе между a иc победу одержит c, при выборе междуb иc победу одержит b. Таким образом, цепь всеобщих предпочтений голосующих примет вид: a > b, b > c, c > a. Ни один кандидат не одержал победу во всех противостояниях, поэтому победителя по принципу Кондорсе выявить невозможно.

Голосование по правилу Борда. Эта методика аналогично предыдущей была предложена в XVIII веке во Франции членом Парижской Академии Наук Жан Шарлем де Борда. Будем считать, что в голосовании принимает участие n кандидатов. Каждый избиратель, ориентируясь на свои личные предпочтения, ранжирует кандидатов, выставляя каждому баллы от n-1 (для лучшего по его мнению)до 0 (для худшего соответственно). Затем проставленные баллы для каждого кандидата суммируются, и в итоге побеждает кандидат с максимальной суммой.

Проведем эту процедуру в условиях нашей задачи. Составим таблицу для подсчета баллов:

Из таблицы очевидно, что победу в выборах одержит второй кандидат.

Кроме самих процедур голосования по правилу Борда и принципу Кондорсе существуют также и их обобщения.

Голосование при помощи подсчета очков. Данный способ является обобщением голосования по правилу Борда. Пусть в голосовании участвуют n кандидатов. Вводится последовательность чисел (или рангов) вида … , в которой обязательно должно выполняться условие . Затем каждый избиратель упорядочивает кандидатов по возрастанию в соответствии со своими предпочтениями и присваивает каждому ранг из последовательности . В выборах побеждает кандидат, набравший наибольшую сумму очков. Очевидно, что исход голосования зависит в первую очередь от выбора значений рангов в последовательности .

Покажем это на примере рассматриваемой задачи. Если мы примем за значения рангов числа от 0 до n-1, то мы получим исходное голосования по правилу Борда, т. е. случай 4), а его результат нам известен — победит кандидат b.

Теперь пусть значения рангов будут следующими: r₀ = 0, r₁ = 1, r₂ = 4. Рассчитаем табличные значения для данного случая:

Голосование по правилу Компленда. Данный метод — обобщение голосования по принципу Кондорсе. Введем функцию , где — это i-ый кандидат. Далее будем попарно сравнивать кандидатов между собой. Рассмотрим двух кандидатов p иq. Если для большинства избирателей p предпочтительнее q, то , если q предпочтительнее p, то , если число предпочитающих p и число предпочитающих q равно, то . Побеждает кандидат, для которого значение функции F максимально.

Рассчитаем значения F для нашей задачи. Получим следующие значения:

При голосовании данным методом победит кандидат Подметим тот факт, что данный метод является обобщением правила Кондорсе, и результаты у обеих процедур совпадают.

Таким образом, были рассмотрены самые популярные на сегодняшний день процедуры голосования. Все они имеют ряд преимуществ и ряд недостатков, однако нельзя недооценивать важность каждой из них. Ведь именно характерные особенности одной из них могут сыграть ключевую роль при каждой уникальной ситуации голосования.

Литература:

1. Handbook of Social Choice and Welfare, Volume 1 / Edited by K. J. Arrow, A. K. Sen, K. Suzumura. Elsevier Science, 2002. P. 176–226.
2. В. И. Вольский. «Процедуры голосования в малых группах с древнейших времени до начала XX века». М.: Изд. дом. Высшей школы экономики, 2014. 76 с.