Некоторые аспекты использования технологии преемственности на примере проектирования системы упражнений, реализующих преемственность в формировании основных понятий курса алгебры



Преемственность в формировании математических понятий являлась предметом исследования многих ученых — психологов и методистов. Были определены педагогические и дидактические условия преемственности в формировании математических понятий, однако вопрос о критериях осуществления преемственности в формировании понятий решался авторами эмпирически, в контексте тех вопросов, которые они рассматривали. Между тем, на наш взгляд, существует необходимость разработки системы преемственности в формировании понятий с учетом результатов, достигнутых в этой области исследователями, гарантирующей достижение уровня усвоения понятия на каждом этапе, определенного в образовательном стандарте. Для достижения этой цели могут быть использованы педагогические технологии. По определению В. М. Монахова, педагогическая технология — это набор процедур, обновляющих профессиональную деятельность учителя и гарантирующих конечный планируемый результат.

В. М. Монаховым была разработана методология проектирования педагогических технологий, представленная в виде системы девяти аксиом.

В своей работе мы использовали технологию проектирования учебно-воспитательного процесса и технологию проектирования траектории обучения и воспитания, как позволяющие, на наш взгляд, наиболее полно реализовать выделенные авторами педагогические и дидактические условия, реализующие преемственность в обучении. Основой функционирования любой педагогической технологии и управления учебным процессом является целеполагание. В параметрической модели учебного процесса целеполагание является первым параметров, представляющим цель и направление учебного процесса в виде системы микроцелей. Второй параметр, дозирование, позволяет судить о том, достигнута ли учащимися микроцель, параметр дозирование содержит информацию о самостоятельной работе учащихся. С помощью четвертого параметра, логической структуры, осуществляется перевод методического замысла в модель учебного процесса. Параметр коррекция содержит информацию об учащихся, не прошедших диагностику, и о содержании методического пути коррекции. Дальнейшая конкретизация модели учебного процесса осуществляется в виде разработки информационных карт урока, содержащих дидактическую задачу урока, содержание учебно — познавательной деятельности учащихся, методический инструментарий учебного процесса. Использование технологии проектирования учебного процесса В. М. Монахова позволяет выстроить индивидуальную траекторию в формировании алгебраических понятий. Основной принцип этой технологии — согласованность обучения с соответствующими требованиями государственного образовательного стандарта. Инструментами реализации этой технологии являются технологические карты, в которых наряду с микроцелями курса обучения математики указываются способы диагностики достижения этих целей и коррекция результата, а также информационные карты развития каждого учащегося. Это позволяет максимально индивидуализировать диагностику результатов преемственности в формировании алгебраических понятий и способствует развитию у учащихся навыков самодиагностики и самообразования.

По нашему мнению, преемственность в формировании основных понятий курса алгебры будет реализована в том случае, если будет спроектирована траектория формирования каждого понятия, которая будет реализована в учебном процессе в виде системы упражнений, создание которой основано на следующих принципах:

1) В системе упражнений, реализующих преемственность в формировании понятий, необходимо реализовывать все компоненты педагогической системы преемственности в иерархической взаимосвязи: преемственность в содержании обучения и условиях обучения должны быть средством реализации преемственности в личностном развитии учащихся.

2) Система упражнений должна быть реализована в виде вытекающих друг из друга задач, направленных на разрешение противоречия и установление преемственных связей самим учеником. (В. М. Туркина)

3) При проектировании системы задач должна учитываться обоснованная последовательность (траектория) формирования понятий.

4) В системе упражнений должна быть учтена последовательность этапов в формировании понятий и требования к каждому этапу.

Нами была разработана на основе технологии преемственности В. М. Монахова технология изучения основных алгебраических понятий, реализующая преемственность между начальной и средней школой. При разработке мы опирались на концепцию курса алгебры А. Г. Мордковича. По его мнению, преподавание курса алгебры в школе должно в большей степени основываться на психолого-педагогических и дидактических закономерностях учебного процесса, чем на законах построения математики как науки. В частности, по его мнению, при формировании фундаментальных математических понятий целесообразно начинать с этапа использования понятия на наглядно-интуитивном уровне, а формальное определение вводить после того, как у учащихся возникла необходимость в таком определении, и накопился опыт оперирования понятием. Исходя из этого, процесс целенаправленного формирования на наглядно — интуитивном уровне опыта использования основных алгебраических понятий можно начинать уже в начальной школе, несмотря на ограниченность математического аппарата, которым владеют учащиеся. Используя свойства основного числового множества, изучаемого в начальной школе, множества, включающего натуральные числа и ноль, можно построить развернутую систему заданий, направленных на изучение основных алгебраических понятий с учетом основных фаз образования понятия: мотивировки, категоризации, обогащения, переноса, свертывания. Разработанная нами система, позволяет включать рассмотрение таких понятий как область определения выражения, уравнения, функции, область значения выражения функции, свойства функции, которые обычно в курсе математики начальной школы не рассматриваются даже на наглядно-интуитивном уровне. В своей концепции школьного курса математики А. Г. Мордкович отдает предпочтение функционально-графической линии. Согласно этим взглядам, в своей пропедевтической работе мы также рассматривали понятия функционально-графической линии в неразрывной связи с понятиями линии уравнений и неравенств.

В рамках функционально — графической линии мы рассматривали понятия функции, графика функции, свойства функции: область определения, область значения функции, монотонность, наибольшие и наименьшие значения на данных промежутках. В рамках линии уравнений и неравенств нами были рассмотрены такие понятия, как уравнение, корни уравнения, неравенство, область определения уравнения и неравенства, решение неравенства, равносильность уравнений и неравенств.

Для разработки траектории формирования понятий мы использовали этапы формирования понятий по Л. С. Выготскому:

1. Мотивировка — создание условий для осознания учащимися необходимости нового способа описания своего предыдущего опыта.
2. Категоризация — введение знаково-символического и визуального обозначения понятия с последующим постепенным увеличением степени обобщенности знаково-символической и визуальной форм представления его содержания, а также ориентация учащихся на выделение частных и общих (несущественных и существенных) признаков соответствующего понятия.
3. Обогащение — накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания (за счет включения разных вариантов его интерпретации, увеличения числа варьирующих по степени существенности признаков, наращивания межпонятийных связей, использования альтернативных контекстов его анализа и т. д.).
4. Перенос — применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания.
5. Свертывание — экстренная реорганизация всего множества имеющихся у ученика сведений относительно данного понятия и превращение их в обобщенную единицу знания. Траектория формирования основных понятий была представлена в виде следующей схемы. Этап формирования понятия обозначен: М-мотивировка, к — категоризация, о- обогащение, п — перенос, с — свертывание.

Основным инструментом реализации разработанной нами системы являются технологические карты проектирования системы формирования каждого из выбранных понятий функциональной линии и линии уравнений и неравенств. В качестве микроцелей определены уровни изучения каждого понятия, разработаны диагностические задания для определения уровня сформированности каждого понятия. Дозирование самостоятельной работы построено таким образом, что позволяет учащимся выбрать уровень усвоения каждого понятия и материал обучения, в соответствии с наличным уровнем сформированности персонального познавательного стиля. При этом учитель, также с помощью дозирования, обогащает репертуар стилевого поведения ученика.

Нами были проанализированы требования к подготовке учащихся на различных этапах обучения, с целью определения программных требований к уровню сформированности каждого понятия на различных этапах обучения. Информационные карты развития учащихся позволяют судить о том, осуществляется ли преемственность в формировании понятий у каждого из учащихся, то есть происходит ли поступательное повышение уровня сформированности основных понятий у каждого учащегося.

Рассмотрим пример проектирования технологической карты по теме «Пропедевтика понятия функции».

В начальной школе ведется функциональная пропедевтика: учащиеся знакомятся с отдельными видами зависимостей, составляют таблицы и т. д.

В своей работе мы исходили из определения понятия функции, данного в учебнике Колмогорова Алгебра и начала анализа 10 -11.

Числовой функцией собластью определения Dназывается соответствие, по которому каждому числу хиз множества Dсопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

В соответствии с этим определением нами были выделены существенные свойства этого понятия:

1. Функция есть зависимость между величинами.
2. Функция задана на некотором множестве, называемом областью определения функции.
3. Каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует единственное значение зависимой переменной (функции).

При разработке пропедевтической системы упражнений нами использовались задания двух типов:

1) иллюстрирующие все эти существенные свойства понятия;

2) задания на применение указанного понятия к решению практических задач.

Результатом применения нашей пропедевтической системы у учащихся должно было стать:

1) Осознание указанных свойств как существенных для понятия функции;

2) Умение использовать понятие на наглядно-интуитивном уровне для решения задач.

Логическая структура учебного процесса.		Технологическая карта Тема: «Функция». 1 2 3 Д1 4 5 6 7 Д2				© В. М. Монахов Киселева Е. И.
Целеполагание			Диагностика		Коррекция
В1: Осознание существенных свойств понятия функции:			1. Девочка купила 2 коробки карандашей, по 6 карандашей в каждой и 3 коробки по 12 карандашей. За всю покупку она заплатила 35 руб. Назови в задаче величины, которые зависят между собой? 2. Дети решили составить таблицу по результатам наблюдений за температурой в течение дня. Время они обозначили буквой t. Какие значения может принимать эта переменная.		Возможные затруднения: 1. Учащиеся не до конца понимают понятие зависимость между величинами, не умеют выделить в задаче величины, которые находятся в зависимости между собой. 2. Учащиеся не могут определить, на каком множестве задана зависимость между величинами.
В2: Умение использовать понятие на наглядно — интуитивном уровне для решения задач.			1.Подбери значения переменной и заполни таблицу: а а-2 2. Карандаш стоит 6 рублей. Купили несколько карандашей. Мальчик записал формулу для нахождения стоимости покупки: у=х*2. Какие величины он обозначил буквами х и у?
	Дозирование.
	Уровень 0		Уровень 1	Уровень 2
Номера упражнений	1–5		6–10	10–13

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы:

Преемственность в формировании основных алгебраических понятий будет реализована полностью, если спроектировать траекторию формирования основных алгебраических понятий, использовать технологию проектирования учебного и воспитательного процесса для учета дидактических условий преемственности в формировании алгебраических понятий.

В системе упражнений, реализующих преемственность в формировании понятий, необходимо реализовывать все компоненты педагогической системы преемственности в иерархической взаимосвязи: преемственность в содержании обучения и условиях обучения должны быть средством реализации преемственности в личностном развитии учащихся.

Система упражнений должна быть реализована в виде вытекающих друг из друга задач, направленных на разрешение противоречия и установление преемственных связей самим учеником. (В. М. Туркина)

При проектировании системы задач должна учитываться обоснованная последовательность (траектория) формирования понятий. В системе упражнений должна быть учтена последовательность этапов в формировании понятий и требования к каждому этапу.

Литература:

1. Батаршев А. В. Преемственность обучения в общеобразовательной и профессиональной школе. — СПб.: Изд. Ин-та профтехобразования РАО, 1996. — 90 с.
2. Монахов В. М. Методология проектирования педагогической технологии (аксиоматический аспект). / В. М. Монахов. // Школьные технологии. — 2000. — N 3. — С. 65.
3. Монахов, В.М., Нижников А. И. Проектирование траектории становления будущего учителя./ В. М. Монахов, А. И. Нижников. // Школьные технологии.-2000.- N 6. — С. 100–115.
4. Туркина В. М. Установление преемственных связей в преподавании математики в условиях развивающего обучения. — автореферат диссертации на соискание степени доктора педагогических наук — Санкт-Петербург, 2003.