Ключевые слова: группы кос, узлы, инвариант, железнодорожный узел, путепроводная развязка, зацепление Хопфа
Теория кос является одним из разделов топологии и алгебры, изучающим косы и группы кос, составленные из их классов эквивалентности. Впервые косы предложил уроженец Австро-Венгрии математик Эмиль Артин в 1936 году в качестве математической модели для использования в текстильной промышленности. В дальнейшем спектр их применения существенно расширился, что может свидетельствовать использование этого математического объекта не только в самой математике (комплексные полиномы, узлы и зацепления, представление функции от 
переменных в виде композиции функций от меньшего числа переменных), но и в физике (классическая механика, статистическая физика, квантовая теория поля) [2, с. 70].
Важнейшей задачей настоящей статьи является стремление авторов аргументированно донести до читателя далеко не призрачную перспективу использования топологических особенностей теории кос в технической науке о проектировании и реконструкции развязок железнодорожных линий в узлах.
Существует ли какая-нибудь связь между косами и железнодорожными узлами? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вначале сопоставить эти два объекта и выделить их взаимные связи и особенности. Но сначала разберемся с терминологией.
Математической косой называется объект, состоящий из 
нитей (образующих), соединенных между двумя параллельными плоскостями 
и 
, в трехмерном пространстве, содержащий упорядоченные множества точек 
и 
. Можно сказать, что коса состоит из 
непересекающихся между собой простых дуг 
, пересекающих каждую параллельную плоскость 
между и однократно и соединяющих точки 
с точками 
. Считается, что точки 
лежат на прямой 
в , а точки 
на прямой 
в , параллельной 
, причем 
расположены под 
для каждого 
.
Для кос характерно понятие группы, так как их умножение обладает следующими свойствами [3, с. 10]:
-
(ассоциативность) для любых кос
, 
и 
;
-
(наличие единицы) существует такая коса 1, что для любой косы
;
-
(наличие обратного элемента) для любой косы
найдется такая коса 
, что
.
Следует сказать о том, что группа кос некоммутативна
, так как умножение двух кос зависит от порядка сомножителей.
Железнодорожными развязками в узлах называют комплекс путевых устройств и сооружений (путепроводов), предназначенных для пропуска подвижного состава по взаимно пересекающимся маршрутам.
В действительности, при сопоставлении кос и железнодорожных узлов, нити (образующие) косы можно представить как железнодорожные пути развязок, которые возникают при пересечении самостоятельных линий на перегоне или на подходах к узловым станциям. Так как образующие косы не могут пересекаться между собой, то в статье будут рассматриваться только железнодорожные развязки в разных уровнях, зависящие от специализации отдельных элементов (станций, парков) и взаиморасположения их в узле. Моделировать железнодорожные развязки в виде кос очень удобно, так как таким развязкам вполне соответствуют перехлесты образующих.
Как узнать, какое количество перехлестов требуется такой «железнодорожной» косе? Впервые этим вопросом задался ученый транспорта академик В. Н. Образцов в 1927 году еще за 9 лет до появления первых работ по теории кос самого Эмиля Артина. Разработанная им теория пересечений и развязки подходов [1] позволяет получить максимальное число перехлестов и выявить минимальное число необходимых путепроводов, ликвидирующих наибольшее число пересечений в одном уровне.
Нетрудно заметить, что максимального числа перехлестов мы можем добиться при крайне неблагоприятном варианте расположения направлений железнодорожных путей, когда такое расположение в сечениях 
и 
находится в обратной последовательности (рис. 1).
Рис. 1
При этих условиях и при числе линий, равном 
:
1-я линия пересечет 
линий с высшим номером;
2-я линия пересечет 
линий с высшим номером;
3-я линия пересечет 
линий с высшим номером;
-я линия пересечет 
линий с высшим номером.
Максимальное число точек пересечения при однопутных линий в этом случае выразится, как сумма членов арифметической прогрессии
.
А что же происходит при пересечении двухпутных линий? Как видно из рис. 2, каждая из них, пересекаясь с последующей, дает четыре точки пересечения. В этом случае максимальное число пересечений при двухпутных линий составит
.
Рис. 2
Нетрудно догадаться, что единичная коса будет иметь место при сохранении одинаковой последовательности линий в обоих сечениях и как при однопутных, так и при двухпутных линиях.
Таким образом, можно сделать вывод, что в зависимости от расположения линий различного порядка в двух сечениях число пересечений колеблется
– при однопутных линиях от 0 до 
;
– при двухпутных линиях от 0 до 
.
При замене указанных пересечений путепроводами число путепроводов остается одинаковым. Действительно, при максимальном числе пересечений двухпутных линий, как видно из рис. 3, действует определенный закон числа путепроводов: при
линиях число путепроводов 
. По этой же формуле выражается число путепроводов и для однопутных линий.
Рис. 3
Рассмотрим пример составления косы расплетения железнодорожных путей по направлениям для двухпутных линий и будем постепенно увеличивать их число, сохраняя принципиальную схему. На рис. 4 приведены схемы развязки и кос при двух (
), трех (
) и четырех (
) двухпутных линиях, примыкающих к узлу с одной стороны. Из представленных схем видно, что главный путь подхода к узлу любой линии пересекает пути выхода из узла всех последующих линий. Так, путь подхода первой линии пересекает путь выхода второй, третьей и четвертой линий; путь подхода второй линии пересекает пути выхода из узла третьей и четвертой линий и т. д.
Таким образом приведенные развязки железнодорожных линий разного уровня в узлах можно представить в виде набора буквенных значений алгебраических преобразований. Для косы при двух двухпутных линиях этот набор имеет значение 
; при трех двухпутных линиях ‒ 
; при четырех двухпутных линиях ‒ 
. В дальнейшем приведенные косы можно представить как математические узлы (соединив образующие по теореме Александера) и найти инвариант каждого такого соединения. Уже сейчас является очевидным, что для схемы, представленной на рис. 4 
инвариант будет равняться 3, так как она соответствует тривиальному узлу. В этом можно убедиться, применив лемму Редемейстера, которая говорит о том, что если узел можно развязать (превратить в тривиальный) в пространстве, то его плоскую диаграмму можно распутать на плоскости с помощью операций Редемейстера. Схема же, представленная на рис. 4 
соответствует простейшему нетривиальному зацеплению с двумя компонентами, состоящему из двух окружностей, зацеплённых однократно (зацепление Хопфа с коэффициентом зацепления 1).
Рис. 4
Литература:
- Образцов В. Н. Техника проектирования узлов. Труды МИИТ, вып. V, М., 1927.
- Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: Изд-во МЦНМО, 1997. — 352 с.
- Сосинский А. Б. Узлы и косы. — 2-е изд., стереотип. — М.: Изд-во МЦНМО, 2012. — 24 с.
