Электрон и дельта-функция Дирака

Статья посвящена рассмотрению некоторых свойств дельта-функции и теорию Дирака. А также приведены несколько примеров по применению этой функций к механическим физическим задачам.

Ключевые слова: классическая теория, элементарная частица, античастица, вспомогательная функция, стержень с переменной сечением, обобщенная функция плотности, центр тяжести, уравнения движения

Article is devoted consideration of some properties - function and the theory of Dirak. And also on application of this of functions some examples are resulted in mechanical physical problems.

Keywords: the classical theory, an elementary particle, an antiparticle, auxiliary function, a core from a variable the section, the generalised function of density, the centre of gravity, the movement equations

Введение. Как известно, первая элементарная частица — электрон был открыт английским физиком Дж. Дж. Томсоном в 1897 году. С тех пор прошло почти 120 лет [1, 2].

В классической электронной теории (П. К. Друде, Г. А. Лоренц, Дж.Дж. Томсон) принималось что таким механизмом являются неупругие соударения электронов с ионами атома кристаллической решётки твёрдых тел. В отличии от классической теории Поль Дирак создал свою теорию и применил к этой теории - функцию.

Определение дельта-функции. Поль Адриен Морис Дирак — крупнейший английский физик-теоретик — прославился в 1929 году. Он строил такую теорию, которая описывала бы движение электронов в электрических и магнитных полях с любой скоростью, вплоть до скорости, близкой к скорости света [3]. Речь идёт о квантовой теории, которая объясняет также тот факт, что в атоме электроны могут двигаться только по определенным орбитам, с определёнными значениями энергии. Дирак знал, что электрон обладает определённым моментом вращения, т. е. подобен вращающемуся волчку, и учитывал это при создании своей теории. Когда же теория была им создана, оказалось, что из неё следует ещё и вывод, не предусмотренный Дираком: возможно существование частиц с такой же массой, как электроны, но с противоположным (положительным) знаком заряда. В течение двух лет считали, что теория Дирака хороша для описания движения электрона, а вывод о частицах с положительным зарядом ошибочен, и когда от него удаётся избавиться, теория станет отличной.

Но в 1932 году частицы с положительным зарядом — позитроны, или, как их ещё называют, античастицы электрона, были открыты. Их появление в теории из недостатка превратилось в триумф, в главное достижение теории: открытие Дирака было первым примером появления новых частиц «на острие пера теоретика». Этот пример поучителен с точки зрения взаимоотношений опыта и теории: теория основывается на определённых данных опыта, но последовательное логическое и математическое развитие теории выводит за пределы того материала, который был положен в её основу, приводит к новым предсказаниям.

Дирак является не только одним из лучших физиков — теоретиков нашей планеты, но и замечательным математиком. В своём классическом труде «Основы квантовой механики» Дирак ввёл и широко использовал новую функцию, которой он дал обозначение : читается «дельта-функция» или «дельта-функция Дирака».

(1)

Наглядно можно представить себе график функции, похожая на , как показано на рис. 1.

Рис. 1. График функции, похожей на

Чем более узкой мы сделаем полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т. е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия при .

Важнейшая формула интеграла с имеет вид

(2)

В самом деле, так как при , то значение интеграла не зависит от значений ни при каком . Существенно только значение там, где , т. е. при x. Значит, в той узкой области, где , умножается на . Следовательно, из условия (1) получается формула (2). Все эти рассуждения можно провести в обратном порядке, т. е. можно сказать, что есть такая функция, для которой при любом виде вспомогательной функции имеет место формула (2). Это одно условие приводит ко всем заключениям о виде , которые были раньше использованы для ее определения. Из формулы (2) следует и то, что при , и то, что , и то, что .

Применения дельта-функции кфизическим задачам. Рассмотрим стержень переменного сечения, к которому прикреплено несколько отдельных точечных грузов (рис. 2). Пусть масса, приходящаяся на единицу длины стержня, выражается функцией . Масса всего стержня без грузов равна , а вместе с грузами .

С учетом выше приведенных положение центра тяжести определяется формулой , а момент инерции относительно начала координат определяется как, .

Но с помощью дельта-функции можно включить отдельные массы в обобщенную функцию плотности. Обозначим новую функцию . Она выражается формулой

(3)

В самом деле, рассматривая общее распределение массы по стержню, можно сказать, что в тех точках, где находятся грузы, плотность имеет бесконечные подскоки. С помощью новой функции все величины записываются единообразно и более кратко:

, . (4)

Понятие дельта-функции позволяет объединит непрерывно распределенные в точечные массы в одном общем выражении.

Другой пример применения дельта — функции относится, к движению материальной точки. Напомним основное уравнение (2 — закон Ньютона)

Под влиянием удара возникает короткий импульс силы. С другой стороны, действие импульса силы не зависит от закона изменения силы, если только сила достаточно кратковременна. Эти соображения приводят к тому, что дельта-функцию можно построить из различных функций , об условиях, когда можно конечную функцию заменять обобщенной, особенной функцией .

Если конкретная форма функции силы несущественна в задаче об ударе, это значит, что можно поменят на дельта-функцию , где — момент удара, а — импульс силы. Проведем формально по всем правилам интегрирование уравнения движения под действием единичной дельта-силы. Пусть до удара частица покоилась в начале координат: , , . Уравнение имеет вид .

Скорость выражается ступенчатой функцией времени (рис. 3):

, , . Следующей шаг заключается в определении пути. Из получим ответ , .

График пути представлен на соседнем рис. 4.

Рис. 3. График скорости

Рис. 4. График пути

Для графика пути характерен излом в точке . Здесь ещё раз убеждаемся в том, что вторая производная функции, имеющей излом, содержит дельта-функцию: функция имеет излом; согласно уравнению движения сила пропорциональна , с изломом получено как раз, при силе пропорциональной , так что при наличии излома содержит , что и требовалось доказать.

Теперь сделаем следующий шаг. Задача о движении тела под действием заданной силы линейна. Это значит, что если есть два решения и под действием двух разных сил и , то сумма решений является решением, соответствующим действию суммы сил . Такое свойство есть следствие того просто факта, что вторая производная суммы функцией есть каждой функции. Принимая во внимание получим что и требовалось — сумма решений описывает движение под действием суммы сил.

Заключение. Нужно сделать только одну оговорку: решения уравнения движения зависят не только от закона силы, но и от начальных условий, т. е. начального положения и начальной скорости рассматриваемой массы. Если мы выберем эти условия так: , , ; , , , то и сумма решений будет удовлетворить тому же условию , , .

Литература:

1. Мухин К. Н. Занимательная ядерная физика. — М.: Атомиздат, 1969. — 145 с.
2. Бекжонов Р. Б. Элементарная ядерная физика. — T.: Учитель, 1982. — 407 с (на узбекском языке).
3. Т. М. Муминов, А. Б. Холикулов, Ш. X. Xушмуродов. Физика атомного ядра и частиц. — T.: НОФУ. 2009. -487 с (на узбекском языке).