Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением



Введение. Высокоэластичные материалы, способные испытывать большие деформации без разрушения, широко используются не только в различных изделиях, применимых в промышленности, но и в различных сооружениях промышленных зон и городских инфраструктур [10, 15–17]. Расчет таких изделий на прочность проводится в рамках геометрически и физически нелинейной теории упругости, в основе математической составляющей которой лежат краевые задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных [3–6, 22]. Нелинейные уравнения, как правило, имеют неединственное решение [1, 22]. В задачах о сжатии тонкостенных пластин и оболочек при достижении нагрузкой некоторого критического значения происходит потеря устойчивости равновесного состояния [7, 11, 12, 14, 23, 25, 27]. Для мембран и оболочек, растягиваемых нормальным давлением, зависимость «нагрузка-деформация» может иметь точку максимума, которая так же, как и в задачах о сжатии пластин и оболочек, считается критической [5, 18, 19]. То есть одной и той же поверхностной нагрузке могут соответствовать два решения. Это следует не только из теоретических результатов, полученных при анализе статических уравнений, но и наблюдается в натурном эксперименте [6, 24, 29]. В работе ставится задача о колебаниях бесконечно длинной безмоментной цилиндрической оболочки, нагруженной нормальным внутренним давлением, и строится ее аналитическое решение. Задача о малых колебаниях моментной цилиндрической оболочки решалась в [2, 20, 21].

Разрешающие уравнения. Нелинейная связь между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости определяется с помощью упругого потенциала , являющегося для изотропного материала функцией кратностей удлинений , и . К числу потенциалов для несжимаемых материалов относятся потенциалы Муни — Ривлина, Бартенева — Хазановича, Огдена [26, 28]. Некоторые из них и их «модификации» достаточно часто используются при решении конкретных задач [3, 5, 13, 24]. Ниже будет использоваться двух параметрический степенной потенциал [6]

,(1)

где — линейный модуль сдвига, — параметр. Из этого потенциала следуют потенциалы Бартенева-Хазановича () и неогуковский (). Для несжимаемого материала должно выполняться условие несжимаемости:

Система разрешающих уравнений, описывающая колебания бесконечно длинной в направлении оси арки-полоски (рис. 1), нагруженной нормальным давлением, имеет вид [9]

(2)

В этих уравнениях — длина дуги срединной поверхности недеформированной арки-полоскии, — угол между осью и нормалью к срединной поверхности в деформированной конфигурации, — усилие, действующее в срединной поверхности, — кратность удлинения дуги срединной поверхности, и — координаты точек срединной поверхности, — внутреннее давление, — толщина недеформированной оболочки, а — плотность ее материала. Кратность удлинения в направлении оси считается постоянной и равной единице (), тем самым рассматривается одноосная деформация.

Рис. 1.

Связь между усилием и кратностью удлинения задается с помощью упругого потенциала для несжимаемого материала [5]:

,(3)

в котором , а . То есть упругий потенциал считается функцией двух аргументов:.

Если края арки-полоски соединены так, что , , так система уравнений (2) будет описывать динамику растяжения бесконечно длинной в направлении оси круговой цилиндрической оболочки радиуса .

При нормальном давлении в силу симметрии задачи форма оболочки должна оставаться цилиндрической оболочкой. То есть системе уравнений (2) должно удовлетворять решение, на котором выполняются равенства , , (, — относительное изменение радиуса оболочки). С учетом этого из (2) следует уравнение для кратности удлинения

,(4)

В статическом случае связь между давлением и относительным изменением радиуса оболочки определяется из зависимости . Эта зависимость может иметь точку максимума. Так, например, для упругого потенциала (1) на рис. 2 отражена зависимость безразмерного давления

от относительного увеличения радиуса оболочки для значений , и в упругом потенциале (1). При эта зависимость имеет асимптоту, а при — точку максимума (точка максимума достигается при значениях ).

Рис. 2.

Малые колебания. Пусть цилиндрическая оболочка находится в положении равновесия, в котором является корнем уравнения

.(5)

Линеаризация уравнения (4) в окрестности этого положения равновесия приводит к линейному уравнению

,(6)

в котором — малое возмущение положения равновесия.

Поскольку на статическом решении выполняется равенство (5), то

.

С учетом этого уравнение (6) приводится к виду

.

На возрастающем участке зависимости (рис. 2) возникают колебания с частотой , а на убывающем участке ускорение положительно и, соответственно, будет происходить процесс постоянного расширения оболочки. То есть колебания возникают только на возрастающем участке зависимости .

Нелинейные колебания. Уравнение (4) с учетом выражения (3) для усилия приводится к виду

.

После умножения этого уравнения на и последующего интегрирования по с учетом начальных условий при

, .(7)

будет получено уравнение

.(8)

На решениях задачи левая часть этого уравнения не должна принимать отрицательные значения. При она обращается в ноль. Если возникают колебания, то она должна иметь хотя бы один корень такой, что . Тогда на решениях уравнения (8) будет изменяться в интервале . Если при достаточно больших значениях упругий потенциал (1) как функция кратности удлинения растет медленнее, чем , то в этом случае правая часть уравнения при достаточно больших значениях будет положительной и, соответственно, будет все время расти с ростом .

Интегрирование уравнения (8) приводит к неявной зависимости

.

Если левая часть уравнения (8) кроме корня имеет корень наиболее близкий к корню первой кратности, то интеграл будет сходиться, и период колебаний будет вычисляться как

Для потенциала (1) уравнение (8) приводится к виду

.(9)

где .

Для случая неогуковского потенциала (в (1) )

.

Решением этого уравнения при является функция

,

которая является периодической с периодом колебаний

.

При правая часть уравнения (9) обращается в ноль только в точке и, соответственно, при любом малом возмущении скорости в начальный момент времени начнется процесс непрерывного увеличения радиуса деформированной оболочки.

Для уравнение (9) принимает вид

.

Корни правой части этого уравнения и . Второй корень будет положительным при условии, что . Поэтому изменяется в диапазоне .

Зависимость амплитуды колебаний от параметра при начальных условиях (7) для упругого потенциала (1) с , и отражена на рис. 3. Пунктирными линиями для и отмечены границы значений , за которыми колебания прекращаются.

Рис. 3.

Проведенный анализ решений математической задачи о нелинейных колебаниях эластомерной оболочки не только демонстрирует возможную потерю устойчивости в условиях растяжения, но и объясняет причину потери устойчивости, связанную, прежде всего, с физической нелинейностью.

Литература:

1. Екимов, А. В. Анализ множества достижимости нелинейных управляемых систем // Естественные и математические науки в современном мире. — 2014. — № 15. — С. 8–13.
2. Кабриц, С. А., Еременко В. Р., Маюшан В. В., Ложкин Е. Н. Расчет напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки по заданным перемещениям // Молодой ученый. — 2016. — № 12 (116). — С. 23–28.
3. Кабриц, С. А., Черных К. Ф. Нелинейная теория изотропно упругих тонких оболочек с учетом поперечного сдвига // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 1996. — № 1. — С. 124.
4. Кабриц, С. А., Шамина В. А. Изгиб оболочки вращения поперечной силой и моментом // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. — 2014. — Т. 1. — № 2. — С. 261–270.
5. Колпак, Е. П., Мальцева Л. С. Большие деформации резиновых мембран // Молодой ученый. — 2014. — № 16 (75). — С. 78–84.
6. Колпак, Е. П., Мальцева Л. С. Круглая плоская мембрана при больших деформациях // Приволжский научный вестник. — 2014. — № 11–1 (39). — С. 5–10.
7. Колпак, Е. П., Мальцева Л. С. Об устойчивости сжатых пластин // Молодой ученый. — 2015. — № 14. — С. 1–8.
8. Колпак, Е. П. Вычисления в Matlab / учебное пособие. Казань, 2016.
9. Мальцева, Л. С., Колпак Е. П., Иванов С. Е. Нелинейные колебания резиновой мембраны // Молодой ученый. — 2016. — № 8 (112). — С. 11–21.
10. Пневматические строительные конструкции / В. В. Ермолов, У. У. Бэрд, Э. Бубнер и др. М.: Стройиздат, 1983. — 489 с.
11. Пронина, Ю. Г Оценка устойчивости упругой трубы под давлением коррозионных сред // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2006. — № 3. — С. 55–63.
12. Пронина, Ю. Г. О сосредоточенных воздействиях у границы упругой пластины // Труды ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова. — 2010. — № 53. — С. 117–122.
13. Седова, О. С., Пронина Ю. Г О выборе эквивалентного напряжения в задачах о механохимической коррозии сферических элементов // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. — 2016. — № 2. — С. 33–44.
14. Старков, В. Н., Степенко Н. А. Исследование динамики маятниковых систем с переменными параметрами // Естественные и математические науки в современном мире. — 2014. ‑№ 15. — С. 20–36
15. Старкова, Н. В. Особенности демографического развития районов Ленинградской области // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 7. Геология. География. — 2007. — № 4. — С. 87–97.
16. Старкова, Н. В. Особенности социально-экономического развития приграничных муниципальных районов ленинградской области // В сборнике: Стратегия развития приграничных территорий: традиции и инновации Материалы международной научно-практической конференции. 2014. — С. 350–359.
17. Старкова, Н. В., Ложкинс А. Кластеризация стран Европы по демографическим признакам // Молодой ученый. — 2016. — № 9 (113). — С. 418–426.
18. Bochkareva, N. L., Kolpak E. P. On stability of arch damper // Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta. Ser 1. Matematika Mekhanika Astronomiya. — 1993. — № 4. — PP. 49–53.
19. Kabrits, S. A., Kolpak E. P., Chernykh K. F. Square membrane under large deformations // Mechanics of solids. — 1986. — № 21. — PP. 182–186.
20. Kabrits, S. A., Shamina V. A. cylindrical shell under the action of the ring load // В сборнике: 2015 International Conference on Mechanics — Seventh Polyakhov's Reading 2015. С. 7106735.
21. Kabrits, S. A., Slepneva L. V. Small nonsymmetric oscillations of viscoelastic damper under massive body action Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. — 1998. — Т. 2. — № 1998. — С. 78.
22. Kabrits, S., Terent'ev V. Numerical solution of one-dimensional nonlinear statics problems for elastic rods and shells in the presence of rigid constraits // International Applied Mechanics. — 1984. — Т. 20. — № 7. — С. 672–675.
23. Kanner, L. M., Horgan C. O. Elastic instabilities for strain-stiffening rubber-like spherical and cylindrical thin shells under inflation // International Journal of Non-Linear Mechanics. — 2007. — V. 42. — P. 204–215.
24. Kolpak, E. P., Maltseva L. S. Rubberlike membranes at inner pressure // Contemporary Engineering Sciences. — 2015. — Т. 8. — № 33–36. — С. 1731–1742.
25. Kolpak, E. P., Maltseva L. S., Ivanov S. E. On the stability of compressed plate // Contemporary Engineering Sciences. — 2015. — Т. 8. — № 20. — С. 933–942.
26. Ogden, R. W., Saccomandi G., Sgura I. Fitting hyperelastic models to experimental data, Comput. Mech. — 2004. — V. 34. — P. 484–502.
27. Polyakhova, E. N., Starkov V. N., Stepenko N. A. Solar sailing out of ecliptic plane // В сборнике: 2015 International Conference «Stability and Control Processes» in Memory of V. I. Zubov (SCP)2015. С. 65–68.
28. Rivlin, R. S., Large elastic deformations of isotropic materials. VI. Further results in the theory of torsion, shear and flexure, Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. A 42. — 1949. — P. 173–195.
29. Seong-Ryoel, H., Kye-Kwang, C. Experimental study for mechanical properties of Thermoplastic Vulcanizates // Indian Journal of Science and Technology. — 2015. — V. 8. — P. 139–143.