Пусть . Рассмотрим вещественнозначную аналитическую функцию
на
. Получен одно важное представление для этой функции.
Условие 1. Функция является четной по совокупности переменных
, (
), имеет единственный невырожденный минимум в точке
и существуют положительно определенная матрица
, числа
такие, что
.
Замечание. Условия 1 выполняется в случае, когда
,
где
.
Действительно, простые вычисления показывают, что
;
;

Поэтому
,
где единичная матрица размера
.
Положим
и
.
Теорема 1. Пусть выполняется условия 1. Тогда существует некоторая -окрестность
точки
такая, что имеет место равенство
и . Здесь функция
удовлетворяет условию
(1)
для некоторого .
Доказательство. Так как функция


для каждого , где
(2)
и - положительные числа,
.
Функция - чётна, следовательно,
.
Функция - аналитична, поэтому [1] существует положительное число
, ограничивающее все частные производные 4-порядка функции
, именно,
для каждого

.
Так как - симметричен, т.e.
, получим
(где означает транспонированную матрицу).
Поэтому
По условию 1
и матрица

положительно определена. Отсюда следует, что и, следовательно,
. Теорема 1 доказана.
Теорема 1 играет важную роль при изучении поведении определителя Фредгольма соответствующий модели Фридрихса.
Литература:
- В. А. Зорич. Математический анализ. Часть I. Изд-во ФАЗИС, Москва, 1997.