История становления понятия «величина»

Начало накопления знаний, связанных с появлением и измерением величин теряются в глубине тысячелетий. «Еще в глубокой древности, когда люди питались только тем, что им удавалось найти и собрать (листья, корни растений, грибы, улитки, мелкие животные и т. п.), им приходилось переходить с места на место. В связи с этим они приобрели некоторые представления о расстоянии» [2, С.53]. Сначала люди сравнивали расстояния по времени, в течение которого они их проходили тот или мной промежуток времени. Например, если от леса до реки можно было дойти за время от восхода солнца до его захода, то говорили, что лес от реки находится на расстояние дня ходьбы. «Такой способ оценки расстояния дошел и до наших дней. Так, на вопрос: «Далеко ли ты живешь от школы?» — можно услышать: «В десяти минутах ходьбы». Это значит, что от дома до школы надо идти 10 мин» [2, С.53].

Впервые понятие «величина» появилось в философской литературе и связывалось оно с действительными числами. «Число генетически возникло в процессе счета предметов и измерений величин, таких как длина, площадь, объем и др. На это обстоятельство указывал еще древнегреческий философ Аристотель. Предметом изучения математики до XVII века, как известно, являлись постоянные величины. Позднее, когда встала задача математического описания процессов и движений в физики и астрономии, были введены переменные величины» [3, С.10].

«В процессе своего развития понятие величины подвергалось ряду обобщений. Евклид в книге «Начала» дал первое обобщение таких конкретных понятий, как «длина отрезка», «площадь», «объем» в виде аксиом, которые косвенно определяют понятие положительной скалярной величины» [3, С.11]. Расширение этого понятия привело в дальнейшем к понятиям скалярной, векторной и тензорной величин.

Одним из источников появления величин является Вавилонское государство. «Еще 4–5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей благодаря своим свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов (в Древнем Китае мерой площади был прямоугольник)» [1, С.272].

Зачатки знаний, связанных с понятием «величина», можно обнаружить и в Древнем Египте, где развитие земледелия вызвало практическую необходимость находить площади и объемы различных фигур. Так, известно из истории, что примерно 4000 тысяч лет назад фараоны Египетского государства устанавливали налоги на земельные участки на тех, кто ими пользовался. В связи с этим и возникла практическая необходимость определять размеры площадей участков как четырехугольной, так и треугольной формы. Еще одна причина, по которой появилась необходимость изучать приемы измерения площадей в Египте — разливы реки Нил, которая после дождей смывала границы участков. Вследствие этого людям приходилось заново восстанавливать границы участков, а для этого они должны были снова их измерять. Выполняли эту работу специальные люди, которые должны были владеть приемами измерения площади фигур (рис. 1).

Рис. 1

Таким образом, древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: «основание треугольника делилось пополам и умножалось на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту. Для вычисления площади S четырехугольника со сторонами а, b, с, d применялась формула:

S = » [4, 271], т. е. умножались полусуммы противоположных сторон. Эта формула верна только для прямоугольника» [1, С.272]. С ее помощью можно вычислить приблизительно площадь таких четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

В Древнем Египте происходило накопление знаний, связанных не только с понятием площадь, но и с понятием объема. Так, наиболее известным нам открытием египтян в этом направлении является открытие способа вычисления усеченной пирамиды с квадратным основанием:

В папирусе Райнда, или папирусе Ахмеса (рис. 2), который был составлен египетским писцом Ахмесом около XX в. до н. э., встречается много задач геометрического характера, «которые связаны с определением площадей и объемов сельскохозяйственных построек и размеров полей» [4, С.34].

Рис. 2.

Накопление и развитие знаний, связанных с понятием величина относится и к Древнему Китаю. Одним из наиболее интересных документов математического содержания этого государства является сочинение «Математика в девяти книгах» (рис. 3), «которое, как полагают, принадлежит Ли-Шоу и относится к 2637 г. до н. э». [4, С.39]. В первой книге приводятся способы измерения полей, которые имеют форму треугольника, четырехугольника, круга и полукруга. Площадь треугольника определяется умножением основания на половину высоты.

Рис. 3

До середины прошлого века математика изучала общие свойства и отношения объектов математической природы, которые абстрагированы от качественного содержания, а не отдельные свойства конкретных величин. Жан Лерон Д’Аламбер в знаменитой французской энциклопедии XVIII в. определяет математику как «науку, изучающую свойства величин, поскольку они перечисляются и измеримы» [3, С.10].

Таким образом, возникло понятие «величина» в глубокой древности, зачатки знаний, связанных с этим понятием мы можем обнаружить в литературных источниках, относящихся к Древнему Египту и Древнему Китаю. На протяжении истории развития общества понятие «величина» подвергалось ряду изменений.

Проанализировав историю возникновения понятия «величина», мы можем отметить, что в математике оно рассматривается как основное, наряду с таким понятием как «число».

Литература:

1. Геометрия. 9 класс: Поурочные планы по учебнику А. В. Погорелова. / авт.-сост. Ю. А. Киселева. — Изд. 2-е. — Волгоград: Учитель, 2010. — 280 с.
2. Глейзер, Г. И. История математики в школе: 4–6 кл. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1981. — 239 с., ил.
3. Гусев, В. А. Изучение величин на уроках математики и физики в школе / В. А. Гусев, А. И. Иванов, О. Д. Шебалин. — М.: Просвещение, 1981. — 79 с., ил.
4. Стойлова, Л. П. Математика: Учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2002. — 424 с.
5. Щербакова, Е. И. Теория и методика математического развития дошкольников: Учеб. пособие / Е. И. Щербакова. — М.: Издательство Московского психолого-социального института; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2005. — 392 с.