Частично интегральные операторы встречаются в квантовой теории поля, физике твердого тела, а также в механике сплошных сред, аэродинамике и других областях физики и механики.
Пусть 
– мера Лебега в 
и 
– гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на 
. В настоящей работе рассмотрим частично интегральный оператор 
, заданный следующим образом:
.
Оператор 
является линейным ограниченным и самосопряженным оператором в 
.
Обозначим через 
соответственно спектр, существенный спектр, дискретный спектр соответственно.
Следует отметить, что в работе [1,2] в качестве операторов возмущения рассматриваются частично интегральные операторы типа 
. Там предполагаются, что частично интегральные операторы являются положительными и принадлежат пространству операторов со следом. Этот факт используется при построение соответствующего уравнения типа Фаддеева для собственных функций.
Вместе с оператором рассмотрим семейство компактных операторов 
действующих в гильбертовом пространстве 
по следующим правилам:
.
Отметим, что спектр и числовая образ одного интегрального оператора типа 
изучены в работе [3].
Теорема 1. Число нуль принадлежит существенному спектру оператора 
.
Доказательство. Для каждой точки
оператор 
является компактным оператором в . Пусть фиксирована. Ввиду компактности оператора существует последовательность ортонормированных функций 
из таких, что 
. Для каждого 
определим множество
.
Рассмотрим последовательность ортонормированных функций
,
где 
– характеристическая функция множества 
. Пусть 
– частично интегральный оператор в с ядром 
, т. е.
.
Тогда
.
С другой стороны,
.
В силу непрерывности функции 
на 
при достаточно малом 
существует достаточно большое число 
такое, что
для всех 
.
Тогда 
для всех 
, т. е. 
. Следовательно, из неравенства 
вытекает, что 
, и поэтому 
. Теорема 1 доказана.
Из замкнутости существенного спектра самосопряженного оператора вытекает следующая теорема.
Теорема 2. Дискретный спектр оператора 
отсутствует, т. е.
.
Аналогично, если рассмотрим частично интегральный оператор 
, заданный следующим образом:
,
то справедливы следующие теоремы.
Теорема 3. Число нуль принадлежит существенному спектру оператора 
.
Теорема 4. Дискретный спектр оператора 
отсутствует, т. е.
.
Литература:
- M. I. Muminov, T. H. Rasulov. The Faddeev Equation and Essential Spectrum of a Hamiltonian in Fock Space. Methods of Functional Analysis and Topology. 17:1 (2011), 47–57.
- Т. Х. Расулов, А. А. Рахмонов. Уравнение Фаддеева и местоположение существенного спектра одного трехчастичного модельного оператора. Вестник Самарского государственного технического университета, Серия физико-математические науки, 23:2 (2011), 170–180.
- Н. Х. Шарипова, Х. Ж. Акрамова, З. Ф. Исомова. Спектр и числовая образ одного интегрального оператора. Молодой учёный. 2017, № 4 (138), С. 120–122.
