Расчет двух балок, лежащих на упругом неоднородном основании при действии произвольной распределенной нагрузки

Рассмотрен приближенный метод расчета шарнирно связанных двух балок, лежащих на упругом неоднородном основании при действие произвольной распределенный нагрузки.

С помощью прерывателей Герсеванова распределённая нагрузка представлена в самом общем виде. Получено выражение для упругой линии балки при действии произвольной распределённый нагрузки как угодно расположенный по балке W.

Рассмотрим составную балку связанными между собой шарнирами и лежащую на упругом неоднородном основании, модуль деформации которого изменяется по закону

(1)

и при действии произвольной распределенной внешней нагрузки (рис.I.а).

Для решения задачи составная балка освобождается от шарнирных связей, при этом получается ряд балок конечной длины и постоянного поперечного сечения.

Каждая балка будет находиться под действием неизвестных реакции связи Y₁ возникающие в местах отчленения одной балки от другой и заданных внешних нагрузок, которое выразится в самом общем виде через функциональные прерыватели Герсеванова [2] (рис.I.б, начало координат берем на левых концах балок, положительные абсциссы вправо, координаты вниз).

Такая расчетная схема дает возможность каждую из полученных отдельных балок рассмотреть и рассчитать, как простую балку конечной длины и постоянного поперечного сечения, лежащую на упругом неоднородном основании. Каждой отсеченной балке не учитываем её поперечные деформации по высоте сечения, а грунт основания под каждой балкой принимаем разным и рассматриваем как сплошную упругую неоднородную среду, характеризуемую модулем деформации изменяющимся с глубиной по закону (1). При этом неоднородность грунта-основания учитывается, и по горизонтали, и по вертикали. Следуя [2], характер распределения реактивных давлений грунта под балками принимаем в таком виде:

(3)

(4)

Для каждой балки составляем соответствующее дифференциальное уравнение изогнутой оси

(5)

(6)

Для деформации грунта под каждой отсеченной балкой используем уравнения осадки поверхности неоднородного полупространства, работающих в условиях плоской задачи (плоская деформация).

(7)

где n=1,2

После четырехкратного интегрирования системы дифференциальных уравнений (5) и (6) получим соответствующее обще уравнение упругой линии каждой балки:

где n = 1, (8)

В уравнениях (8) в каждое из них входят по восемь неизвестных величин (по четыре параметра и по четыре произвольные постоянные интегрирования). Для нахождения этих искомых величин для каждой балки используем по восемь следующих условий: два условия статики; два граничных условия; четыре условия прилегания балки к основанию, которые легли в основу для вывода расчетных формул в [4].Используя все перечисленные выше условия и с учетом формул выведенных в [4], находим искомые параметры для всех отсеченных балок:Формулы для параметров n-й балки имеют вид:

(9)

Где

Где определяются согласно [4].

Вспомогательные члены

-

показатель гибкости n-ой балки. Где I,2В этих формулах приняты следующие обозначения:

- реактивное давление грунта на n — ную балку; — Произвольная какая угодно распределенная нагрузка на n — ую балку; Y_n- Пока неизвестная поперечная реакция возникающие по концам n — ой балки расчет расчленения соседних балок, — без размерная абсцисса в рассматриваемом сечении n — ой балки, b_n — Ширина n-й балки;L_n — длина n -й балки:Безразмерное расстояние от левого концаn — ой балки до начала распределенной нагрузки ; — Модуль деформация грунта на глубине Y_n = l под n-й балкой; V_on — Коэффициент Пуассона n-й балки; жестокость n-й балки;

В формулах, по которым определяется искомые параметры, входит неизвестная реакцияY₁возникающие по концам смежных балок, то для получения замкнутой системы уравнений к восьми условиям добавляем условия сопряженности: реакция грунта на балку со стороны основания в местах мысленного отсечения одной балки от другой были равными между собой.

(11)

Согласно (9), параметры для первой балки определяется по формулам:

(12)

Параметры для второй балки:

(13)

Где, b₂ — ширина рассматриваемых балок

Поставляя значения параметровиз формул (12), (13) в (11) и преобразовав его, получим следующее линейное алгебраическое уравнение:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Определяя значение Y₁ из (14) подставляя (12), (13) в (3), (4) и (8), можно получить реактивные давления, поперечную силу, изгибающий момент, угол поворота сечений и упругую линию балки, лежащей на неоднородном основании при действии произвольной распределенной нагрузки.

Литература:

1. Клейн Г. К. Учет неоднородности, разрывности деформаций и других механических свойств грунта при расчете сооружений на сплошном основании. Сб. трудов № 14, МИСИ, М., 1956г.
2. Симвулиди И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании. Изд-во «Высшая школа», М.,1978г.
3. Ширинкулов Т. Ш. Расчет инженерных конструкций на упругом неоднородном основании. Изд-во «Фан», Ташкент,1970г.
4. Турабов Х. Ш. Расчет балочных плит, лежащих на упругом непрерывно неоднородном основании. Тезисы докладов областного семинара-совещания (май-1988г) г.Самарканд-1988г.