Пусть 
–трехмерный тор. Рассмотрим функцию вида
,
где 
–вещественнозначная условно отрицательно определенная функция на и следовательно, 
является четным и имеет единственный минимум в точке 
.
Отметим, что комплекснозначная ограниченная функция 
называется условно отрицательно определенным, если 
и
для любых 
и 
, а также для любого 
удовлетворяющего условию 
.
Положим
,
,
и
.
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема 1. Функция 
имеет максимум в точке 
такое, что для некоторого 
имеет место нижняя оценка
.
Доказательство. Сначала напомним, что вещественнозначная четная условно отрицательно определенная функция 
представляется в виде [1]
,
которое эквивалентно тому, что коэффициенты Фурье 
с условием 
являются неотрицательными, т. е.
и ряд 
сходится абсолютно.
Так как 
является четной функцией, 
также является четной. Следовательно, из равенства
следует, что
,
где
и
.
Положим
.
Запишем функцию 
как сумма двух функций
и
.
Пусть 
–характеристическая функция множества 
. Положим 
. Тогда для любых 
и 
функция 
строго положительно. Так как функция 
имеет единственный минимум в точке 
, функция 
принадлежит Банахово пространство 
. Тогда для некоторого (достаточно большого) 
, достаточно малого 
и для всех 
имеет место неравенство
.
Из леммы Римана-Лебега следует, что
при 
.
Из непрерывности функции
в компактном множестве 
следует, что для всех 
и 
верна 
.
Положим 
. Тогда при всех 
имеет место 
. Таким образом, из 
, следует, что 
, . Следовательно,
.
Отсюда и следует доказательство теоремы 1.
Литература:
- C.Berg, J. P. R. Christensen and P. Ressel. Harmonic analysis on semigroups. Theory of positive definite and related functions. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1984, 289 pp.
