В этой работе метод вариационных итераций использован к приближенному решению типичных линейных и нелинейных интегральные уравнения Волтерры. Результаты этого метода сходится быстрее к точному решению для некоторых нелинейных проблем. Метод вариационных итераций очень эффективные и простой.
Ключевые слова: интегральные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение
Нелинейные явления, которые появляются во многих приложениях науки и техники, таком как гидро-аэродинамика, физика твердого тела, физика плазмы, математическая биология и химическая кинетика, может быть смоделирован обыкновенными уравнениями или уравнениями частными производных и интегральными уравнениями. Анализ научных работ, опубликованные ряд зарубежными учеными [1–5] показывают, что метод вариационных итераций (МВИ) и его модификации успешно применены ко многим приложениям прикладных наук. Новый метод был предложен ученым J. H. He в 1997 и систематический описан в 2000. До недавнего времени, приложение МВИ в нелинейных проблемах был разработан учеными и инженерами, потому что этот метод — самые эффективные и удобные и для слабо и для строго нелинейные уравнения. Метод является мощное устройство для решения различных видов уравнений, линейных или нелинейных. Интегральные уравнения Волтерры были решены классическим, числовым и теоретическим методы [4, 5]. Ниже МВИ применен для линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерра.
Постановка задачи. Нелинейные уравнения в общем имеет вид
, (1)
где L, N — линейный и нелинейный оператор соответственно; g(t) — неоднородная часть уравнения; у — неизвестная функция.
Исходя из этого требуется решить следующую интегральную уравнению Вольтерра методом вариационных итераций [3]
, 
, (2)
где y(x) — искомая функция; f(x), F(y) — известные функции; K(x,t) — ядро интегрального уравнения (2).
Алгоритм метода вариационных итераций (МВИ). Для уравнения (1) методом вариационных итераций допускает коррекции функционала в виде [5]:
(3)
где 
— множитель Лагранжа.
Для приближенного решения уравнения (2) методом вариационных итераций сначала ее дифференцируем один раз по x, тогда
. (4)
Применяя идею МВИ к (3) имеем
. (5)
Вариации стационарного функционала
.
Для нахождения значения множителя Лагранжа составим уравнение Эйлера-Лагранжа
, а для граничного значения 
. Отсюда 
.
Окончательная итерационная формула:
. (6)
Приложение. Ниже решены несколько примеры посвященные к решению проблемы (1) методом вариационных итераций.
Пример 1. Сначала рассмотрим самый простой пример. Требуется решить следующую линейную интегральную уравнению Вольтерра [5, 6]:
. (7)
Сначала дифференцируем уравнение (7) один раз по х: 
.
Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:
. (8)
Выбираем начальное приближение как 
. Дальнейшие приближения вычисляем по (8):
;
;
;..., 
.
Тогда 
. Это и есть точное решение уравнение (7).
Результаты ошибки аппроксимации (8) при n = 3 представлен на рис. 1.
Пример 2. Теперь рассмотрим чуть сложнее пример. Требуется решить следующую линейную интегральную уравнению Вольтерра [6]:
. (9)
Сначала дифференцируем уравнение (9) один раз по х:
.
Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:
. (10)
Выбираем начальное приближение как 
. Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (10):
; 
; 
,....
Точное решение уравнение (9): 
. Результаты ошибки аппроксимации (10) при n = 3 представлен на рис. 2.
Рис. 1.
Рис. 2.
Пример 3. Теперь усложняем пример. Требуется решить следующую простую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [5]:
. (11)
Сначала дифференцируем уравнение (11) один раз по х:
.
Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:
. (12)
Выбираем начальное приближение как 
. Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (12): 
; 
;....
Точное решение уравнение (11): 
.
Пример 4. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [6]:
. (13)
Сначала дифференцируем уравнение (13) один раз по х:
.
Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:
. (14)
Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции
, т. е. 
. Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (14) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: 
; 
;....
Тогда точное решение уравнение (13): 
.
Пример 5. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [5]:
, 
. (15)
Сначала дифференцируем уравнение (15) один раз по х:
.
Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:
. (16)
Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции 
, т. е. 
. Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (16) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: 
; 
;....
Тогда точное решение уравнение (15): 
.
Пример 6. Требуется решить следующую нелинейную интегральную уравнению Вольтерра [4]:
, 
. (17)
Сначала дифференцируем уравнение (17) один раз по х: 
.
Используя формулу (6) запишем следующую итерационную формулу:
. (18)
Выбираем начальное приближение из разложения в ряд Тейлора функции 
, т. е. 
. Дальнейшие приближения вычисляем по формуле (18) с помощью математического пакета Maple и получим следующие результаты: 
; 
;....
Тогда точное решение уравнение (17): 
.
Выводы. Вэтой работе метод вариационных итераций успешно применен к решению интегральных уравнений Волтерры. Метод полезен и для линейных и для нелинейных уравнений. Этот метод очень силен и эффективен для нахождения точных и приближенных решений для широких классов проблемы. Этот метод не требует утомительных алгебраических вычислений. Для нелинейного уравнения это возникает часто, чтобы выразить нелинейное явление. МВИ облегчает вычислительную работу и дает решение быстро. Результаты показал, что метод очень точен и прост.
Литература:
- He. J.H., A new approach to nonlinear partial differential equations, Commum. Nonlinear Sci. Numer. Simulation, 2(4), 1997, 230–235.
- He. J.H., Variational iteration method a kind of non-linear analyticaltechnique: some examples, International Journal of Non-Linear Mechanics, 34(4), 1999, 699–708.
- He. J.H., Variational iteration method-Some recent results and new interpretations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207, (2007), 3–17.
- Wazwaz A. M. A First Cours in Integral Equations. Second Edition. Chicago: Saint Xavier University, 2015. — 331 p.
- Wazwaz A. M. Linear and Nonlinear Integral Equations: Method and Applications. Chicago: Saint Xavier University, 2011. — 658 p.
- Mamatov Sh.S., Abdirashidov A. Integral tenglamalarni taqribiy yechish usullari. Uslubiy qo‘llanma. — Samarqand: SamDU nashri, 2014. — 124 bet.
