Математическая модель асинхронного двигателя с переменными ψr – ψm на выходе апериодических звеньев в Simulink-Script



Данная работа является продолжением статьи [1], в которой были подробно даны способы и технологии получения пространственных векторов. В работах [2] и [3] приведено множество вариантов определения электромагнитных моментов комбинацией двух переменных (ψ_r – i_s, ψ_s – i_s, ψ_s – ψ_r и т.д.).

В наших статьях за 2015 г. приведены математические модели с переменными ψ_r и i_s. В этой работе рассмотрим моделирование асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором с переменными ψ_r и ψ_m. Так как главной целью является привлечение студентов к исследовательской работе, то в соответствии с нашей традицией, выводы всех уравнений приводим без сокращений.

Векторные уравнения асинхронного двигателя имеют следующий вид:

Переводим систему уравнений к изображениям :

	(1)
	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)

Схема замещения и векторная диаграмма переменных [3] приведены на рис. 1 и 2.

Рис. 1. Связь токов и потокосцеплений в асинхронном двигателе

Рис. 2. Качественная картина расположения векторов в двигательном режиме асинхронного двигателя

Так как электромагнитный момент определяется через две переменные ψm и ψr, то из уравнений (1), …, (4) необходимо исключить переменные ir, is и ψs.

В работе [2] приведены следующие выражения векторных величин:

	(7)
	(8)

Из уравнения (7) определим :

(9)

Из уравнения (8) определим :

Подставим из уравнения (9):

Обозначим тогда:

(10)

Приведем из работы [2]:

(11)

В уравнение (11) подставим выражение из (10):

Обозначим :

где

Отсюда определится следующим образом:

(12)

В дальнейшем рассмотрим следующую систему уравнений:

Разложение векторных величин по проекциям:

Записываем уравнения (1), (2), (9), (10) и (12) по проекциям.

Уравнение (1):

По оси (+1):		(1’)
По оси (+j):		(1”)

Уравнение (2):

По оси (+1):		(2’)
По оси (+j):		(2”)

Уравнение (9):

По оси (+1):		(9’)
По оси (+j):		(9”)

Уравнение (10):

По оси (+1):		(10’)
По оси (+j):		(10”)

Уравнение (12):

По оси (+1):		(12’)
По оси (+j):		(12”)

Рассмотрим систему уравнений (1’), (2’), (9’), (10’), (12’) и (12”) по проекции x (+1):

Подставим i_rx из уравнения (9’) в (2’):

Выразим , которое нам понадобится в дальнейшем:

(13)

Для получения апериодического звена вынесем в левую часть слагаемое :

Умножим обе части уравнения на и вынесем за скобки в левой части:

Обозначим

Тогда ψ_rx определится в следующей форме:

Структурная схема для определения потокосцепления ψ_rx приведена на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема для определения потокосцепления ψ_rx

В уравнение (1’) подставим i_sx, ψ_sx и ψ_sy из уравнений (10’), (12’) и (12”):

В полученное уравнение подставим выражение из уравнения (13):

(14)

Перенесем слагаемые с переменными ψ_mx в левую часть:

Умножим обе части уравнения на :

Обозначим и .

Тогда ψ_mx определится в следующей форме:

Структурная схема для определения ψ_mx дана на рис. 4.

Рис. 4. Структурная схема для определения ψ_mx

Рассмотрим систему уравнений (1”), (2”), (9”), (10”), (12”), (12’) по проекции y (+j):

Из уравнения (2”) выразим , предварительно подставив i_ry из (9”):

(15)

В левую часть вынесем :

Умножим обе части уравнения на l_σr и вынесем r_rк за скобки в левой части:

Отсюда ψ_ry определится в следующей форме (рис. 5):

Рис. 5. Структурная схема для определения ψ_ry

Подставим в уравнение (1”) переменные i_sy, ψ_sy и ψ_sx из (10”), (12”) и (12’):

Подставим в полученное уравнение выражение из (15):

(16)

Умножим обе части уравнения на и перенесем слагаемые с ψ_my в левую часть:

Отсюда потокосцепление ψ_my:

Структурная схема для определения ψ_my представлена на рис. 6.

Рис. 6. Структурная схема для определения ψ_my

На рис. 7 представлена структурная схема для реализации уравнения электромагнитного момента (5):

Рис. 7. Математическая модель определения электромагнитного момента m

Наконец, из уравнения движения (6) выразим механическую угловую скорость вращения вала двигателя (рис. 8):

Рис. 8. Математическая модель уравнения движения

Математическая модель асинхронного двигателя с короткозамкнутым ротором с переменными ψ_r – ψ_m на выходе апериодических звеньев приведена на рис. 9. Параметры асинхронного двигателя рассмотрены в работах [2] и [3].

Расчет параметров производим в Script:

PN=320000; UsN=380; IsN=324; fN=50; Omega0N=104.7; OmegaN=102.83; nN=0.944; cos_phiN=0.92; zp=3; Rs=0.0178; Xs=0.118; Rr=0.0194; Xr=0.123; Xm=4.552; J=28;

Ub=sqrt(2)*UsN; Ib=sqrt(2)*IsN; OmegasN=2*pi*fN; Omegab=OmegasN; Omegarb=Omegab/zp; Zb=Ub/Ib; Psib=Ub/Omegab; Lb=Psib/Ib; kd=1.0084; Mb=kd*PN/OmegaN; Pb=Mb*Omegarb; rs=Rs/Zb; lbs=Xs/Zb; rr=Rr/Zb; lbr=Xr/Zb;

lm=Xm/Zb; Tj=J*Omegarb/Mb; betaN=(Omega0N-OmegaN)/Omega0N; SsN=3*UsN*IsN; ZetaN=SsN/Pb; ks=lm/(lm+lbs); kr=lm/(lm+lbr); lbe=lbs+lbr+lbs*lbr*lm^(-1); roN=0.9962; rrk=roN*betaN; rs7=rs/kr-lbs*rrk/lbr; rs8=rs-lbs*rrk/lbr; Tr5=lbr/rrk; Ts7=lbe/rs7;

Рис. 9. Математическая модель асинхронного двигателя с переменными ψ_r – ψ_m на выходе апериодических звеньев

Результаты моделирования асинхронного двигателя представлены на рис. 10.

Рис. 10. Графики скорости и момента

Литература:

1. Емельянов А.А., Козлов А.М., Бесклеткин В.В., Авдеев А.С., Чернов М.В., Киряков Г.А., Габзалилов Э.Ф., Фуртиков К.А., Реутов А.Я., Королев О.А. Пространственные векторы в асинхронном двигателе в относительной системе единиц // Молодой ученый. - 2015. - №11. - С. 133-156.
2. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. – Екатеринбург: УРО РАН, 2000. - 654 с.
3. Шрейнер Р.Т. Электромеханические и тепловые режимы асинхронных двигателей в системах частотного управления: учеб. пособие / Р.Т. Шрейнер, А.В. Костылев, В.К. Кривовяз, С.И. Шилин. Под ред. проф. д.т.н. Р.Т. Шрейнера. - Екатеринбург: ГОУ ВПО «Рос. гос. проф.-пед. ун-т», 2008. - 361 с.