Нам известно, что построение квадратурных формул, основанное на методах функционального анализа была начата в работах А.Сарда [1] и С. М. Никольского [2], для кубатурных формул С. Л. Соболева [3]. Работы многих авторов, например (см. [1–3]) священны квадратурные формулы в которых входят значения производных интегрируемых функций. Если известны не только значения функции 
в точках 
на 
, но и значения её производные некоторых порядков, то естественно, что при правильном использовании всех этих данных можно ожидать более точный результат, чем в случае в случае использования только значений функций [2].
В связи с этим рассмотрим квадратурную формулу типа Эрмита
,(1)
с функционалом погрешности 
(2)
над пространством С. Л. Соболева 
. Где соответственно 
и 
являются произвольными коэффициентами и узлами квадратурной формулы (1), 
, — одномерный тор, т. е. окружность длины равной единицы и 
— порядок производных, 
характеристическая функция, и 
— дельта функция Дирака.
Определение. Пространство 
— определяется как пространство функций заданных на одномерном торе и имеющих все обобщённые производные порядка 
суммируемые с квадратом в норме [3]
, (3)
где 
— коэффициенты Фурье т. е. 
.
В работе [3] доказана следующая теорема.
Теорема 1. Квадрат нормы функционала погрешности (2) квадратурной формулы типа Эрмита вида (1) над пространством 
равен
, (4)
где 
— коэффициенты, 
— узлы квадратурной формулы (1).
Отыскание минимума нормы функционала погрешности по 
и 
есть задача исследование функции на экстремум. Значения 
и 
, реализующие этот минимум, определяют оптимальную квадратурную формулу.
Основным результатом настоящей работы является
Теорема 2. Оптимальная квадратурная формула типа Эрмита вида (1) в периодическом пространстве 
при 
, имеет равноотстоящие узлы 
, 
и равные коэффициенты 
= 
= … = 
= 
и 
, которые выражаются формулой
и 
. (5)
Доказательство. Пусть в равенстве (4) 
, тогда 
и в этом случае после некоторых преобразований над вторым слагаемым в равенстве (4) получаем
=
+
. (6)
Используя результаты работы [9,10], из (6) получим
=
+
. (7)
Здесь мы учитывали, что суммы 
и 
достигает своего наименьшего значения, равного соответственно
и 
,
когда узлы 
квадратурной формулы (1) равноотстоящие и все
коэффициенты 
, также 
равны между собой, т. е.
, 
и 
. (8)
Правую часть (7) будем рассматривать, как функцию от 
,
и обозначим ее через 
т. е.
=
+. (9)
Тогда из необходимого условия экстремума из (7) получим систему уравнений с двумя неизвестными и .
, 
(10)
Решая систему (10) и введя некоторые преобразование, последовательно находим и , т. е. 
, и 
. (11)
Пусть и , 
тогда имеем 
и . Отсюда следует, что
и 
. (12)
Подставляя (11) в (12) находим оптимальные коэффициенты квадратурных формул типа Эрмита вида (1), т. е.
(13)
и 
, что и требовалось доказать.
Литература:
- Sard. A. Integral representations of remainders, Duke Math J. 1948. V15, 333–345
- Никольский С. М. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами успехи математических наук, 1950, Т.5, вып 2 (36), с. 165–177.
- Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул М.Наука 1974, 808с.
