Пусть 
, измеримая 
-периодическая функция 
. Множество всех измеримых, 
- периодических функций 
для которых
,
,
называют весовым пространством Лебега и обозначается
. В этом пространстве норма вычисляется
.
Пусть 
. Весовая функция 
, если существует число 
такая, что для любого интервала 
выполняется неравенство
,
где 
— длина интервала 
.
Если 
, то положим
,
,
,
,
,
Для функции
усредненный модуль гладкость порядка 
определяется по формуле [2, с.683].
,
.
Известно, что 
- неотрицательная, неубывающая, непрерывная функция и
,
.
Пусть 
- множество тригонометрических полиномов порядка не выше 
. Наилучшее приближение функции 
множеством
определяется по формуле
,
Известно следующее утверждение.
Теорема 1 ([2]). Пусть 
,
и 
, 
. Тогда для функции 
справедлива оценка
.
Далее, рассмотрим пространство 
в случае 
,
, 
и 
обозначим как 
.
Теорема 2 ([3, с.46]). Пусть 
; 
. Если 
,
,(1)
то
имеет место неравенство
.(2)
Замечание. В случае 
теорема 2 доказана П. Л. Ульяновым [4,с.104].
Теорема 3. Пусть 
,
. Если 
и выполнено условие (1) то 
и
.(3)
Доказательство. Пусть 
и выполнено условие (1). Тогда по теореме 1 функция 
. Докажем оценку (3). По теореме 1 и неравенству (2) имеем
(4)
где 
.
Применяя неравенство 
, 
, 
имеем
(5)
В силу оценки
из неравенств (4) и (5) получим
. (6)
Если 
, то меняя порядок суммирования имеем
Поэтому из неравенства (6) получим
в случае 
, т.е 
.
Литература:
- Muckenhoupt B. Weighted Norm Inequalities for the Hardy Maximal Function,Trans.Amer.Math.Soc. -1972, № 165.- P.207–226.
- Guven A., Israfilov D. M. Improved Inverse Theorems in Weighted Lebesgue and Smirnov Spaces.Bull.Belg.Math.Soc.Simon Stevin.- 2007, № 14.- P.681–692.
- Смаилов Е. С., Каримов С. К. Весовые аналоги одной теоремы вложения П. Л. Ульянова // Сб.Математические исследования. — Караганда, 1976.-Вып. 3.- C. 46–50.
- Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими приближениями (модулями непрерывности) в разных метриках //Мат.сб., 1970.- Т.81.- № 1.- C.104–131.
