Пусть — комплексное гильбертово пространство и
линейный оператор с областью определения
. Множество
называется числовым образом оператора
Из определения видно, что множество является подмножеством комплексной плоскости и геометрические свойства множества
дает некоторые информации об операторе
.
Изучение числового образа линейного оператора в гильбертовом пространстве является одним из основных методов в изучении местоположения спектра таких операторов. Это понятие впервые введено в работе [1]. Вслед за этим это понятие обобщено разными способами, см. например [2–4].
Пусть -
-мерный тор с условием
и
— гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на
. Обозначим через
прямую сумму пространств
и
, т. е.
.
Рассмотрим обобщенную модель Фридрихса действующую в гильбертовом пространстве
как
блочно-операторная матрица
,
где матричные элементы
, определяются по формулам
,













При этих предположениях операторная матрица , является ограниченным и самосопряженным в гильбертовом пространстве
.
Можно показать, что для существенного спектра оператора имеет место равенство
, где числа
и
определяются следующим образом:
,
.
Определим регулярную в функцию (детерминант Фредгольма, ассоциированный с оператором A)
.
Тогда оператор имеет собственное значение
тогда и только тогда, когда
. Далее, в случае существовании собственных значений оператора
обозначим их через
,
. Для определенности предположим, что
и
.
Пусть −фиксированное натуральное число. На протяжении всей работы будем предполагать, что функция
имеет невырожденный минимум в точках
,
.
Пусть
,
,
.
Так как функция имеет невырожденный минимум в точках
,
, существуют числа
,
,
и
такие, что



,
. (2)
Имеет место равенство
(3)
Учитывая неравенства (1) и непрерывность функции на
имеем, что
- тое (
) слагаемое в правой части (3) оценивается следующим образом:
.
Переходя в сферическую систему координат убедимся, что последний интеграл конечна. конечность последнего слагаемого в правой части (3), т. е. интеграл по
вытекает из непрерывности функции
на
и неравенства (2).
Положим
.
Следующая теорема описывает структуру числового образа оператора .
Теорема. Пусть .
1) Если


2) При имеет место равенство
.
Литература:
- O. Toeplitz. Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer. Math. Z., 2:1–2 (1918), 187–197.
- H. Langer, A. S. Markus, V. I. Matsaev, C. Tretter. A new concept for block operator matrices: the quadratic numerical range. Linear Algebra Appl., 330:1–3 (2001), 89–112.
- L. Rodman, I. M. Spitkovsky. Ratio numerical ranges of operators. Integr. Equ. Oper. Theory, 71 (2011), 245–257.
- M. T. Heydari. Numerical range and compact convex sets. Rend. Circ. Mat. Palermo, 60 (2011), 139–143.