Распространение волн в цилиндрическом слое с жидкостью

В работе рассматривается распространение волн в двухслойном цилиндрическом теле с идеальной жидкостью. Задача решается в потенциалах перемещений. Дисперсионное уравнение решается методом Мюллера.

Ключевые слова: фазовая скорость, продольные и поперечные волны, цилиндрическая оболочка

Поглощения продольных и поперечных волн в среде является одной из важных характеристик, используемых в промысловой и разведочной геофизике. Чаще всего такие параметры определяет с помощью скважинных измерений методом акустического каротажа. Однако, если измерение затухания продольной волны Р не вызывает больших затруднений, так как она образует первые вступления, то определение поглощения поперечной волны S является более сложной задачей, поскольку она вступает на фоне сильных интерференционных колебаний, вызываемых резонансными явлениями в скважине [1, 2]. Все эти данные позволяют провести теоретические исследования затухания свободных волн в скважине с коэффициентами затухания Р — и S — волн. Пусть, окружающая скважину среда является твердой, скорость продольных волн в ней обозначим через С_р2, С_S2, (-r₀) и скорости распространение волн в жидкости С_р1(rr₀, -

(i=1,2)

На границе r=r₀ требуется выполнение с условиями непрерывности нормальных составляющих смещений и напряжений и равенства нулю касательных напряжений:

В такой системе могут распространяться осесимметричные нормальные волны двух типов, различающиеся характером дисперсии и диапазоном изменения фазовых скоростей как функции частоты. Один тип волн, условно называемый гидроволновой, имеет фазовые скорости, всегда меньше скорости звука в жидкости. Дисперсионное уравнение для него записывается в виде:

(1)

Где:

С фазовая скорость волн; плотности материала; функции Бесселя и Ханкеля нулевого и первого порядки [1]. Дисперсионное уравнение (1) решается методом Мюллера.

Рассмотрим собственный колебания двухслойный цилиндрической оболочке находящиеся в упругой среде, обозначим через С_pi, С_si, _i, _i, _i (I=1,2,3) соответственно скорость продольной и поперечной волны, плотность и модуль упругости. Рассмотрим задачу о распространении свободных волн, возникающих в такой системе. Уравнения движения среды для продольных _i и поперечных _i потенциалов представляется в виде: (2)

В уравнениях (2) следует подставить ₂ =0, если в затрубном пространстве находится жидкость. Соответствующие напряжения _rr,_r и смещения u_r, u_z определяются через потенциалы _i, равенствами:

,

.

На границах раздела упругой среды с жидкостью выполняются граничные условия непрерывности нормальных составляющих смещений и напряжений, а также равенство нулю касательных напряжений в твердом теле:

(3, a)

Если жидкость заменена упругой средой, то на контакте двух сред ставятся следующие условия:

(3, b)

Решения уравнений (2), удовлетворяют условию конечности в точке r=0 и условиям убывания на бесконечности и выражаются через модифицированные функции Бесселя.

На границе контакта слоев r=r₂ ставится условие жесткого (или скользящего) контакта (непрерывны нормальные составляющие напряжений и смещений, отсутствуют касательные составляющие напряжений) и контакт между внешним слоем и окружающей средой жесткий (непрерывны нормальные и тангенциальные составляющие напряжений и смещений). Дисперсионное уравнение записывается в виде:

(k,)=0(4)

Оно представимо в виде определителя, у которого элементы _ij (1i1), (1 j  1), отличные от нуля, имеют следующий вид:

,

Остальные элементы также записываются в аналогичном виде.

Здесь x₀=-ikr₁α₀; x₁=-ikr₁α₁; x₂=-ikr₂α₀; x₃=-ikr₂α₂;y₁=-ikr₁β_1, в двухслойном цилиндре V определяет скорость обобщенной волны по двухслойному цилиндру. Фазовая скорость волны определяется величиной реальной части корня, величины мнимой части корня связаны с затуханием χ на единице расстояния зависимостью:

Дисперсионное уравнения (4) решается методом Мюллера. Значение левой части на каждой итерации метода Мюллера определяется методом Гаусса с выделением главного элемента. Нами были составлены программы и проведены расчеты дисперсии и затухания волны Лэмба для моделей скважин, описываемых граничными условиями (3, a) и (3, b). Исходя из физической постановки задачи, будем считать, что поглощением обладают буровая жидкость, цемент, тампонажная смесь, поглощением же в материале колонны и в окружающей среде будем пренебрегать. Переход к системе с поглощением был сделан посредством введения комплексных параметров сред. Численные результаты получены при следующих значениях параметров:

С_po= 1500 м/c; С_p1= 1500 м/c; С_p2= 1500 м/c;

С_p3= 5300 м/c; С_s1= 2900 м/c; С_s2= 2000 м/c;

С_s3= 2000 м/c; ρ₀= 1 г/см³; ρ₁= 8 г/см³;

ρ ₂= 3 г/см³; ρ₄= 4 г/см³; r₁=0.05 м;

r₂=0.06 м; r₃=0.067 м.

Результаты расчетов представлены в таблице. Видно, что фазовая скорость слабо зависит от волнового числа.

Изменение фазовой скорости С (м/с) взависимости от волнового числа (α/a))

Из анализа значений фазовой скорости выявлено, что разница между скоростями осесимметричных и неосесимметричных волн первой моды мала для всех значений волнового числа, кроме близких к нулю (область очень длинных волн), а минимумы части первой моды для всех значений n совпадают, так что и в данном случае первая резонансная скорость может быть определена из решения соответствующей осесимметричной задачи.

Литература:

1. Айнола Л. А., Нигул У. К. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек. — Изв. АН Эст. ССР, 1965, 14, № 1, с. 3–63.
2. Викторов И. А. Ультразвуковые волны Лэмба. — Акуст. ж. 1965, II, вып. I, с. 1–18.