В этой статье излагаются некоторые способы развития творческого мышления учащихся при изучении понятий стереометрии, даны рекомендации их применения на уроках с целью развития творческой самостоятельности учащихся.
Ключевые слова: стереометрия, обучение, способ, мышление, активизация, групповые формы работ, индивидуализация и дифференциация обучения, познавательная деятельность, творческие задания, решения задач, мотивация, интерес.
На уроках математики, в том числе при изучении стереометрии, учащиеся овладевают мыслительными умениями. Условиями успешного усвоения учебного материала являются понимание материала и овладение учащимися активными формами мыслительных умений, так как все учебные действия сводятся к тому, что на основе активной умственной работы можно глубоко и прочно понять материал.
При изучении стереометрии необходимо обратить особое внимание на вопрос об изучении свойств тел вращения и пересечения многогранников с плоскостями. Поэтому с учащимися есть возможность обсудить вопросы:
- Что происходит, если пересечь многогранник плоскостью?
- Что получится в сечении?
- Какая линия образуется при пересечении поверхности многогранника с плоскостью?
- Будет ли она замкнутой плоской ломаной линией?
- Как называется эта ломаная линия?
При изучении цилиндра, обсуждая представленные вопросы, выводятся следующие его свойства:
- Почему основания цилиндра равны? (Так как параллельный перенос ‑ движение)
- В каких плоскостях лежат основания цилиндра? (В параллельных плоскостях, так как при параллельном переносе плоскость перейдет тоже в параллельную)
- Какие свойства имеют образующие цилиндра? (Образующие цилиндра параллельны и равны, так как при параллельном переносе точки сдвигаются на одно и то же расстояние)
При изучении шара рассматриваются следующие вопросы:
- Что образуется в пересечении шара с плоскостью? (Любое пересечение шара с плоскостью является кругом)
- Где находится центр этого круга? (Центр круга является основанием перпендикуляра, проведенного из центра в шар к секущей плоскости)
- Каким свойством обладает симметрия шара? (Любая диаметральная плоскость является его симметрической плоскостью)
- Где расположен центр симметрии шара? (Центр шара является его центром симметрии)
- Какое свойство имеет касательная плоскости шара? (Касательная плоскость с шаром имеют одну общую точку ‑ точку касания)
- Что образуется при пересечении двух сфер и какие варианты их пересечения? (Пересечение двух сфер состоит из окружности)
При изучении конуса после уточнения элементов конуса обсуждается такой вопрос:
- Как пересекается конус с плоскостями, параллельными основанию? (Конус пересекается параллельной основанию плоскости по кругу)
- Что образуется при пересечении этой плоскости с его боковой поверхностью? (Пересекает по окружности, центр которого находится на оси конуса)
При изучении пересечения цилиндра с плоскостью ставится проблема:
- Как плоскость, параллельная основанию цилиндра, пересечет его боковую поверхность? (Плоскость, параллельная основанию цилиндра, пересечет его боковую поверхность по окружности, равной основанию).
Кроме того, полезно коллективное обсуждение формулы Эйлера: если количество вершин многогранника обозначить через В, количество граней через Г и количество ребер Р, то на конкретных примерах можно проверить и вывести следующее соотношение между этими элементами многогранника В+Г-Р=2. Они убеждаются в правильности, проверяя ее на примере треугольной, четырехугольной и -угольной призмах и пирамидах. При этом составляется таблица, включающая столбцы с названиями тела, количество вершин, количество граней, количество ребер, сумма вершин и рёбер, а также разность суммы и количество рёбер. В последнем столбце во всех строках получается 2. Значит, существует такая закономерность.
В процессе развития творческого мышления, а также формирования пространственных представлений учащихся, большую роль играет изучение комбинации пространственных тел. При этом можно рассмотреть 9 вариантов комбинированных тел:
1) шар и пирамида;
2) шар и призма;
3) шар и конус;
4) шар и цилиндр;
5) конус и пирамида;
6) конус и призма;
7) конус и цилиндр;
8) цилиндр и пирамида;
9) цилиндр и призма.
При этом можно предложить анализировать следующие теоретические сведения:
1) Комбинированные тела, состоящие из шара и призмы. Если шар вписан в призму, то:
а. высота призмы равна диаметру шара;
б. боковые грани шара своими точками касания лежат на секущей плоскости, которая проходит через середину высоты призмы и перпендикулярна боковым ребрам призмы;
в. для построения описанного шара, призме необходимо и достаточно:
− быть прямой;
− должна быть возможность вписать в его основание окружность;
− если призма описана шаром, то центр шара является серединой высоты призмы, проходящей через центр, описанной основанию окружности.
2) Комбинированные тела, состоящие из шара и пирамиды.
Теорема 1. Если шар вписан в пирамиду, то его центр является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех боковых двухгранных углов.
Теорема 2. Если шар описан пирамиде, то его центр является точкой пересечения плоскостей, перпендикулярной ребрам и проходящей через середину ребер.
Теорема 3. Для того чтобы построить описанный шар пирамиде, необходимо и достаточно построение описанной окружности основанию пирамиды.
После этого обсуждаются следующие вопросы:
а. Какое минимальное количество граней может иметь призма? При этом у призмы сколько будет вершин, ребер и боковых граней?
б. Существует ли призма, имеющая 10, 12, 15 и 17 ребер?
Учащиеся придут к выводу, что п-угольные призмы имеют 3
ребер.
в. Как называется многогранник, имеющий наименьшее количество граней? Сколько у него ребер и вершин?
г. Может ли гранями пятигранника быть четырехугольник, пятиугольник? (Ответ: может, не может).
д. Один из граней многогранника шестиугольник. Сколько этот многогранник может иметь наименьшее количество ребер? (Ответ: 12).
При изучени многогранников большую пользу приносит классификация многогранников. При этом многогранник определяется как часть пространства ограниченными плоскими многоугольниками — гранями. Стороны и вершины многоугольника являются сответственно ребрами и вершинами многогранника. Поверхность многранника назывется многранной поверхностью. К этому понятию наложены определеннные ограничения:
1) каждое ребро должно быть общей стороной двух граней, называемых соседными гранями;
2) каждые две грани можно соединять последовательно соседними гранями;
3) каждая вершина должна ограничивать некоторый многогранный угол, соприкасающийся к нему углов граней.
При осуществлении классификации учащиеся должны выделять следующие виды многогранников: параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, куб, призма, прямая призма, правильная призма, пирамида, правильная пирамида, усеченная пирамида.
Показ учащимся соотношений между видами многогранников позволяет наглядно демонстрировать возникновение геометрических понятий и их динамику. Например, это можно объяснить в примере куба со следующей логической цепочкой: куб — прямоугольный параллелепипед — призма — многогранник — геометрическое тело – множество точек пространства.
При изложении многогранников также подчеркнуть, что есть такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, грани — правильные, но состоит из различных многоугольников. Такие многогранники называются полуправильными многогранниками или телами Архимеда. Эти тела образуют четыре группы. В первую группу входят тела, образующиеся пресечением пяти платоновых (правильных) многогранников: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр. Во вторую группу принадлежат квазиправильные многогранники, граны которых состоят из двух типов многоугольников, но каждая грань одного типа обведена с гранями другого типа ‑ кубооктаэдр, икосододекаэдр. Третья группа состоит из ромбооктаэдра, ромбоусеченного кубооктаэдра, ромбоусеченного икосододекаэдра.
К четвертой группе относятся два тела ‑ курносый куб и курносый додекаэдр.
Есть правильные звездчатые многогранники, они называются телами Кеплера-Пуансо. Кеплер нашел маленький звездчатый додекаэр, и он также называется ёжиком, большой додекадр. Пуансо открыл два тела ‑ большой звездчатый додекаэдр и больщой икосаэдр.
Решение многих стереометрических задач целесообразно свести к решению задачи планиметрических. Поэтому в процессе решения задачи они либо расчленяются на ряд планиметрических задач, либо путем соответствующих преобразований может быть сведено к ним.
Кроме того, большую пользу приносят задачи устного характера для вычисления объемов многогранников. Например, при изучении объема куба можно предложить следующие устные задания:
1) Найдите объем куба:
а. если ребро куба равно 2
;
б. диагональ грани куба равно 2
;
в. диагональ куба равна 6
.
В начале изучения стереометрии обратить особое внимание на развитие у учащихся пространственных представлений, при этом больше уделять внимание формированию умений построить трехмерные изображения на плоскости, а также умениям переводу непространственного образа в геометрическую фигуру на плоскости. Для этого должны использоваться анимационные и учебные возможности мультимедийных средств на уроках.
При изучении стереометрии с точки зрения творческого мышления учащихся большое внимание должно быть обращено на следующие моменты:
− формирование у учащихся умения видеть геометрические формы в окружающих телах;
− акцентировать внимание учащихся на аналогии изучения планиметрии и стереометрии;
− добиться наглядного и правильного выполнения изображения пространственных фигур;
− работа с геометрическими образами должна опираться на четкое осознание учителем того, какой тип заданий он предлагает ученику;
− использование заданий, требующих построения чертежа в соответствии с условиями задачи.
Целесообразно рассмотреть задачи теоретического характера:
1) Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной? Рассматривая случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Отсюда вытекает вывод, что задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.
Литература:
- Абдуллаев, А.; Инатов, А.; Остонов, К. Роль и место использования современных педагогических технологий на уроках математики. Международный научный журнал «Символ науки» № 2/2016, часть 1. ‑ с. 49–50.
- Границкая, А. С. Научить думать и действовать. — М.: Просвещение, 1991.
- Кларин, М. В. Развитие критического и творческого мышления. // Школьные технологии, № 4. ‑ 2004.
- Крутецкий, В. А. Психология математических способностей школьников. — М.: Педагогика. ‑ 2001.
- Семенов, Е. М.; Горбунова, Е. Д. Развитие мышления на уроках математики. — Свердловск, 1966.
