Генетический алгоритм для нахождения коэффициентов аппроксимации функции в контактных задачах для цилиндра



В ходе работы была рассмотрена контактная задача кручения полого линейно-упругого цилиндра в цилиндрических координатах. Рассмотрим цилиндр, внутренний радиус которого равен R, а внешний R1. Внешняя поверхность цилиндра жестко закреплена. Внутрь цилиндра помещен жесткий цилиндрический вкладыш длины 2a, к которому приложен крутящий момент M. Под действием этого момента упругий материал цилиндра в области контакта испытывает угловое перемещение u. Материал цилиндра характеризуется модулем сдвига G. При заданных величинах R, R1, a,  требуется определить контактное напряжение p(z) в области контакта. Затем может быть определен момент M. При помощи интегрального преобразования Фурье задача сводится к следующему интегральному уравнению () [3]:

(1)

где символ ядра имеет вид

(2)

Здесь I_n(u), K_n(u) ― модифицированные функции Бесселя [10]. Безразмерный параметр  характеризует толщину стенок цилиндра. При ∞ функция L(u) вида (2) стремится к функции

(3)

соответствующей случаю кручения пространства с цилиндрической шахтой.

Ранее было установлено, что при  и u функция вида (3) достаточно хорошо аппроксимирует функцию L(u) и было получено полное решение уравнения (1) с символом ядра (3) [3]. Отметим, что наибольшее отличие этих функций наблюдается в нуле, где

(4)

В бесконечности функция (2) имеет асимптотику:

Асимптотическое решение. Введем безразмерные обозначения

(6)

Штрихи далее будем опускать. Параметр  характеризует относительную ширину области контакта. В обозначениях (6) уравнение (1) примет вид

(7)

Для решения уравнения (7) применим сингулярный асимптотический метод [5,6], эффективный при достаточно малых значениях . Метод основан на сведении уравнения (7) к интегральному уравнению ВинераХопфа, при решении которого используем аппроксимацию

(8)

при условиях

(9)

Аппроксимация (8), (9) учитывает поведение L(u) в нуле и бесконечности, см. формулы (4), (5). Кроме того, функция (8) легко факторизуема.

Для нахождения коэффициентов аппроксимации минимизируется невязка аппроксимации содержащая подгоночные коэффициенты , заданная на множестве функции . Невязка определяется в соответствии с формулой .

Таким образом, необходимо найти значения коэффициентов , при которых будет наименьшей.

Практически всегда оптимизируемая функция обладает каким-либо свойством: алгоритмическое задание, сложная конфигурация допустимой области, наличие нескольких типов переменных. Это приводит к необходимости применения специализированных методов, к которым и относятся генетические алгоритмы, хорошо зарекомендовавшие себя в ситуациях, когда применение стандартных методов оптимизации крайне затруднено.

Литература:

1. Л. Галин. Развитие теории контактных задач в СССР. —:, 1976. — 496 с.
2. Гладков Л. А., Курейчик В. В., Курейчик В. М. Генетические алгоритмы. —: Физматлит, 2006. — 2006. с.