Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области

Краевые задачи для невырождающихся нагруженных уравнений смешанного типа второго и третьего порядка, когда нагруженная часть содержит след или производную от искомой функции, изучены в работах А. М. Нахушева [1], Б.Исломова и Д. М. Курьязова [2], Б.Исломова и У. И. Болтаевой [3].

Несколько нам известно, краевые задачи типа задачи Трикоми и Геллерстедта для вырождающегося нагруженного уравнения смешанного типа второго порядка исследовались сравнительно мало. Отметим работы В. М. Казиева [4], Б.Исломова и Ф.Джураева [5]. Исходя из этого, настоящая работа посвящена постановке и исследованию краевой задачи типа задачи Геллерстедта, для нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа, вырождающегося внутри области.

Рассмотрим уравнение

где - любые действительные числа, причем

, , ,

Здесь и делее при при

Пусть D–конечная односвязная область плоскости переменных , ограниченнаяпри отрезками , , , прямых,,,соответственно, a при характеристиками

, ,

,

Из произвольных точек проведем характеристиками

,

уравнения

Введем следующие обозначения:

, ,

, ,

,

В области для уравнения исследуем следующую задачу:

1)

2) является регулярным решением уравнения в областях

и ;

3) причем может обращаться бесконечность порядокпри и а при ограничена;

4) на линии вырождения выполняется условия склеивания

,

5) удовлетворяет краевым условиям

, ,

, ,

, ;

,

,

,,

Здесь причем

Доказана следующая теорема.

Теорема. Если выполнены условия , , , , то в области решение задачи G существует и единственно.

Литература:

1. Нахушев А. М. Нагруженные уравнения и их приложения. //«Дифференциальные уравнения». 1983. Т.19. № 1. С. 86–94.
2. Исломов Б., Курьязов Д. М. Краевые задачи для смешанного нагруженного уравнения третьего порядка параболо-гиперболического типа. // «Узбекский математический журнал». 2000. № 2. С. 29–35.
3. Б.Исломов Б., Болтаева У. И. Краевая задача для нагруженного уравнения третьего порядка с параболо-гиперболическим оператором. // «Узбекский математический журнал». 2007. № 2. С. 45–55.
4. Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка. //«Дифференциальные уравнения». 1978. Т.14. № 1. С.181–184.
5. Исломов Б., Джураев Ф. Аналог задачи Трикоми для вырождающегося нагруженного уравнения параболо-гиперболического типа. // «Узбекский математический журнал». 2011. № 2. С. 75–85.