Исследованию существенного спектра модельных непрерывных и дискретных операторов Шредингера посвящены многие работы (см. например, [1] и [2], соответственно). Обычно в физической литературе используется “локальные” потенциалы, т. е. операторы умножения на функцию. Однако потенциалы, которые строятся, например, в теории псевдопотенциала оказываются нелокальными и представляют собой, в том числе для периодического оператора, сумму локального потенциала и некоторого конечномерного. В настоящей работе рассматривается модельный оператор Н, как сумма оператор умножения и частично интегрального оператора. Рассмотрим модельный оператор Н, действующий в гильбертовом пространстве по формуле
где
— есть оператор умножения, а V — частично-интегральный оператор:
Можно проверить, что в этом случае оператор Н, является ограниченным и самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве . Для формулировки основного результата настоящей работы наряду с оператором Н рассмотрим также ограниченную и самосопряженную модель Фридрихса
, действующую в
как
, где операторы
и v определяются по правилам
Видно, что оператор v является одномерным. Поэтому
Теперь перейдем к изучению дискретного спектра оператора . Пусть С- комплексная плоскость. При каждом фиксированном
определим регулярную в
функцию

Тогда легко проверяется, что
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема 1. Оператор Н имеет чисто существенный спектр и для него имеет место равенство
Доказательство. Сперва докажем, что
Пусть
— произвольная точка. Покажем, что
Для этого удобно воспользоваться критерием Вейля [1], т. е. достаточно построить последовательность ортонормированных векторов
, для которых
Так как – непрерывная функция в компактном множестве т. е. в квадрате
, существует точка
такая, что
. Рассмотрим следующую окрестность точки
:
,
где
— выколотая окрестность точки
.Пусть µ(
) — мера Лебега множества
.
Последовательность выбираем следующим образом:

Очевидно, что –ортонормированная последовательность.
Рассмотрим (H-)
и оценим его норму:
Из построения множества следует
,
. В силу непрерывности функции
имеем, что
.
Тем самым доказано, что , т. е.
.
Из произвольности точки следует, что
.
Включение. доказывается аналогично. А обратное утверждение, т. е. факт

Литература:
1. Г. М. Жислин. Труды ММО, 9, 1960, 81–120.
2. S. Albeverio, S. N. Lakaev, Z. J. Muminov, Russ. J. Math.Phys., 14:4 (2007), 377–387.