Настоящая статья является продолжением работы [1], в которой приведены основные свойства квадратичного числового образа. Там утверждается, что квадратичный числовой образ определен, если дано разложение 
и 
, где 
и 
гильбертово пространство, а 
пространство линейных ограниченных операторов в гильбертовом пространстве 
. Тогда оператор 
всегда записывается в виде блочно–операторной матрицы
(1)
с линейными ограниченными операторами 
, 
. Для неограниченного линейного оператора 
в 
, его область определения 
необязательно должна быть разлагаемой как прямая сумма 
подпространств 
, 
и следовательно, утверждение о том, что оператор 
имеет представление (1) является дополнительным предположением. В этом случае
.
Для удобства сначала дадим определение числового образа оператора 
. Пусть 
и 
— скалярное произведение и норма в 
, 
, соответственно.
Для линейного оператора 
в гильбертовом пространстве 
с областью определения 
его числовой образ определяется следующим образом:
.
Пусть 
— одномерное комплексное пространство, 
- гильбертово пространство квадратично интегрируемых (комплекснозначных) функций, определенных на 
, 
. Рассмотрим случай 
, 
, 
, 
, 
;
, 
, 
, 
.
Здесь
–вещественные постоянные, а 
– вещественнозначная непрерывная функция на 
. В этих предположениях оператор 
, определенный по формуле (1) и действующий в гильбертовом пространстве 
, является ограниченным и самосопряженным.
Рассмотрим уравнение для собственных значений
, 
.
Это уравнение эквивалентно следующей системе уравнений
. (2)
Случай 1: пусть 
. Тогда система уравнений (2) записывается в виде
. (3)
Видно, что если 
и 
, то система уравнений (3) превращается в тождество. Так как 
, имеем, что 
. Тем самим
.
Это и означает, что число является бесконечнократным собственным значением оператора 
.
Случай 2: пусть теперь 
. Тогда из второго уравнения системы уравнений (2) для 
имеем
. (4)
Подставляя полученное выражение (4) для в первое уравнение системы уравнений (2) имеем, что число является собственным значением оператора 
тогда и только тогда, когда
или
.
Если 
, то в силу (4) имеем 
, т. е. 
, который противоречит тому, что число является собственным значением оператора . Поэтому 
. Следовательно,
.
Найдем нули этого уравнения. Простые вычисления показывают, что нули равны
.
Таким образом, 
и 
являются простые собственные значения оператора 
и 
. Мы получили следующие заключение:
1. Для существенного спектра оператора имеет место равенство:
.
2. Для дискретного спектра оператора имеет место равенство:
.
Причем обе собственные значение являются простыми.
3. Для числового образа оператора имеет место равенство:
.
Литература:
- И. Б. Куланов. Основные свойства квадратичного числового образа. Молодой учёный, — 2016, –№ 13 (117), — С. 41–44.
