Аппроксимация первой краевой задачи разностной моделью для уравнения смешанного типа



Исследования разностных схем проводятся, разбивая на два этапа.

I этап. Проверка аппроксимации. I этап состоит в проверке того, что интересующее нас решение дифференциального уравнения

,

после замены его на следующее разностное уравнение

удовлетворяет ли его, т. е. выполняются ли следующие равенства:

(здесь шаги разностной схемы). Проверка этих неравенств называется проверкой аппроксимации.

II этап. Проверка устойчивости.

Проверка следующего неравенства

для решений разностного уравнения, называется проверкой устойчивости разностной схемы.

Теперь в области рассмотрим следующее уравнения:

(1)

Мы через обозначим линейный, дифференциальный оператор с частными производными второго порядка:

.

Здесь , , , , — заданные функции, которые удовлетворяют следующие условиям:

1) и .

2) и .

3) .

4) .

— пространство непрерывных функций, — замыкание . Область разделим на три области:

Здесь ,

,

- граница области .

— внутренняя нормаль проведений к границе .

Определим, к какому типу принадлежит (1) уравнение в области . Введем следующие обозначения: .

Мы знаем в области значения выражения может быть отрицательным, положительным или равным нулю, тогда соответственно в (1) уравнение называется или эллиптического, или гиперболического или параболического типа.

Здесь , .

По классификацию уравнений частного производного второго порядка (1) уравнения принадлежит к уравнениям смешанного типа в области .

Для уравнения (1) изучаем следующую краевую задачу:

Краевая задача: Найти функцию , удовлетворяющую в области уравнения (1), а при граничное условие:

(2)

пространство функций, принадлежащих классу и удовлетворяющих условию (2).

Для решения краевой задачи (1) — (2), мы используем приближенной (численный) метод (метод разностных схем).

В области построим разностную сетку шагами , (, ).

Приближенное решение (1)-(2) краевой задачи в точке обозначим через .

Здесь, — узловые точки, получение пересечением прямых линий . Введем следующие операторы сдвига и разностные операторы:

, ,

.

Тогда аппроксимируем краевую задачу (1)-(2), следующей схемой [2]:

Это схема имеет первую аппроксимацию по .

Литература:

1. Алоев Р. Д., Рахмонов Х. О., Шарипова Ш. Исследование разностной модели краевой задачи для уравнения смешанного типа. «Оптимизация численных методов» Тезисы докладов международной научной конференции «Оптимизация численных методов», посвященной 90-летию со дня рождения С. Л. Соболев. Уфа ИМВЦ УНЦ РАН 1998г, 4–5-с.
2. Меражова Ш. Численное решения первой и второй краевой задачи для уравнения смешанно-составного типа. В. И. Романовский юбилейига бағишланган конференция материаллари тўплами. Тошкент, 2004, 81–84-с.